В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.
Навигация по странице.
Что значит «возведение в степень»?
Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.
Определение.
Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.
Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».
Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.
Возведение числа в натуральную степень
На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .
Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.
Пример.
Вычислите значение степени .
Решение.
Покажем два способа решения.
Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: 
.
Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства 
. Теперь извлекаем корень 
, наконец, возводим в целую степень 
.
Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.
Ответ:
Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.
Пример.
Вычислите (44,89) 2,5 .
Решение.
Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): 
. Теперь выполняем возведение в дробную степень:
Ответ:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.
В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем 
, а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, 
. А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3
.
Возведение в иррациональную степень
Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.
Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.
В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.
Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.
Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.
целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.
А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.
Любое число в нулевой степени равно единице :
Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?
Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:
Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.
Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:
Повторим правило:
Любое число в нулевой степени равно единице.
Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).
С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.
Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:
Отсюда уже несложно выразить искомое:
Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:
Итак, сформулируем правило:
Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).
Подведем итоги:
I. Выражение не определено в случае. Если, то.
II. Любое число в нулевой степени равно единице: .
III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .
Задачи для самостоятельного решения:
Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:
Разбор задач для самостоятельного решения:
Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!
Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.
Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?
Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.
Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:
Возведем обе части уравнения в степень:
Теперь вспомним правило про «степень в степени» :
Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?
Эта формулировка - определение корня -ой степени.
Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.
То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .
Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .
Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:
Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.
Никакое!
Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!
А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.
А что насчет выражения?
Но тут возникает проблема.
Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.
И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.
Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).
Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .
Итак, если:
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:
5 примеров для тренировки
Разбор 5 примеров для тренировки
1. Не забываем об обычных свойствах степеней:
2. . Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:
ведь - это или. Решение находится автоматически: .
Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .
Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением
Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.
Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;
...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;
...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.
Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))
Например:
Реши самостоятельно:
Разбор решений:
1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:
Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:
В данном случае,
Получается, что:
Ответ: .
2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:
Ответ: 16
3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Определение степени
Степенью называется выражение вида: , где:
- — основание степени;
- — показатель степени.
Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}
Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
Возведение в нулевую степень :
Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.
Если показателем степени является целое отрицательное число:
(т.к. на делить нельзя).
Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.
Примеры:
Степень с рациональным показателем
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Свойства степеней
Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.
Посмотрим: что такое и?
По определению:
Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:
Но по определению это степень числа с показателем, то есть:
Что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение : .
Пример : Упростите выражение.
Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !
Ни в коем случае нелья написать, что.
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Перегруппируем это произведение так:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.
Степень с отрицательным основанием.
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .
И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?
С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .
И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:
- четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен нулю.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Справился? Вот ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.
И снова используем определение степени:
Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:
Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.
Вычисли значения выражений:
Решения :
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!
Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Итак, теперь последнее правило:
Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:
Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:
Пример:
Степень с иррациональным показателем
В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)
Например:
Реши самостоятельно:
| 1) | 2) | 3) |
Ответы:
- Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
- Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
- Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Степенью называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
- Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен.
- Любое число в нулевой степени равно.
ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...
Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.
Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях.
И удачи на экзаменах!
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
- 4 — основание степени ;
- 6 — показатель степени .
В общем виде степень с основанием «a » и показателем «n » записывается с помощью выражения:
Запомните!
Степенью числа «a » с натуральным показателем «n », бóльшим 1 , называется произведение «n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a ».
Запись «a n » читается так: «а в степени n » или «n -ая степень числа a ».
Исключение составляют записи:
- a 2 — её можно произносить как «а в квадрате»;
- a 3 — её можно произносить как «а в кубе».
- a 2 — «а во второй степени»;
- a 3 — «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .
Запомните!
Степенью числа «а
» с показателем n = 1
является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени ) считают лишённым смысла.
- (−32) 0 = 1
- 0 253 = 0
- 1 4 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
- 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- ( ·
=
=
81 256
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
Запомните!
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Запомните!
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .
Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
a 2 ≥ 0 при любом a .
- 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625
В то время как найти «−5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
- Возвести в четвёртую степень положительное
число 5
.
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить
действие вычитание).
−5 4 = −625
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
−6 2 − (−1) 4 = −37- 6 2 = 6 · 6 = 36
- −6 2 = −36
- (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- −(−1) 4 = −1
- −36 − 1 = −37
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Запомните!
В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень , затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Пример. Вычислить:
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней , которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Определение 1
Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0 , 5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0 , 5) 5 .
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1
Условие: возведите - 2 в степень 4 .
Решение
Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .
Возьмем пример посложнее.
Пример 2
Вычислите значение 3 2 7 2
Решение
Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Пример 3
Выполните возведение в квадрат числа π .
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .
Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
Это понятно из записи 
.
От основания степени это не зависит.
Пример 4
Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .
Пример 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а - любое число, а z - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.
Пример 6
Возведите 2 в степень - 3 .
Решение
Используя определение выше, запишем: 2 - 3 = 1 2 3
Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .
Тогда ответ таков: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
Пример 7
Возведите 1 , 43 в степень - 2 .
Решение
Переформулируем: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом: 
В итоге у нас вышло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1 , 43) - 2 = 10000 20449
Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a - 1 = 1 a 1 = 1 a .
Пример 8
Пример: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .
Определение 2
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.
У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .
Проиллюстрируем на примере.
Пример 9
Вычислите 8 - 2 3 .
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 - 2 3 = 8 - 2 3
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2
После этого извлечем корень 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и результат возведем в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.
Пример 10
Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107
Ответ: 13 501 , 25107 .
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Пример 11
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....
Решение
Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Основная цель
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:
- Определение степени с натуральным показателем.
- Умножение и деление степеней.
- Возведение в степень произведения и степени.
Контрольные вопросы
- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
- Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
- Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
- Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
- Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
- Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
- Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab) n = a n b n .
- Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество (а m) n = а m n .
Определение степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .
Степень с основанием а и показателем n записывается так: а n . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.
По определению степени:
а 4 = а а а а
. . . . . . . . . . . .
Нахождение значения степени называют возведением в степень .
1. Примеры возведения в степень:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. Найти значения выражений:
а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
Вариант 1
а) 0,3 0,3 0,3
в) b b b b b b b
г) (-х) (-х) (-х) (-х)
д) (ab) (ab) (ab)
2. Представьте в виде квадрата числа:
3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
в) -1 4 + (-2) 3
г) -4 3 + (-3) 2
д) 100 - 5 2 4
Умножение степеней.
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
a m a n = a m + n .
Доказательство:
Правило : При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9
б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
а) 2 3 2 = 2 4 = 16
б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
Вариант 1
1. Представить в виде степени:
а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4
б) а 6 а 2 ж) 3 3 9
в) у 4 у з) 7 4 49
г) а а 8 и) 16 2 7
д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 2 2 2 3 в) 8 2 5
б) 3 4 3 2 г) 27 243
Деление степеней.
Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:
a m: a n = a m - n
Доказательство:
a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m
по определению частного:
a m: a n = a m - n .
Правило : При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице :
т.к. а n: a n = 1 при а0 .
а) х 4:х 2 = х 4 - 2 = х 2
б) у 8:у 3 = у 8 - 3 = у 5
в) а 7:а = а 7:а 1 = а 7 - 1 = а 6
г) с 5:с 0 = с 5:1 = с 5
а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
в)
г)
д)
Вариант 1
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
(ab) n = a n b n
Доказательство:
По определению степени
(ab) n = 
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:
= 
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
Например:
(a b c) n = a n b n c n ;
(a b c d) n = a n b n c n d n .
Правило : При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:
а) (a b) 4 = a 4 b 4
б) (2 х у) 3 =2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3
в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4
г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3
д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2
е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. Найти значение выражения:
а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1
д)
Вариант 1
1. Возвести в степень:
б) (2 а с) 4
д) (-0,1 х у) 3
2. Найти значение выражения:
б) (5 7 20) 2
Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
(а m) n = а m n
Доказательство:
По определению степени
(а m) n = 
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают .
1. Возвести в степень:
(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20
(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9
2. Упростите выражения:
а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13
б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13
в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14
г) (у у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24
а)
б)
Вариант 1
1. Возвести в степень:
а) (а 4) 2 б) (х 4) 5
в) (у 3) 2 г) (b 4) 4
2. Упростите выражения:
а) а 4 (а 3) 2
б) (b 4) 3 b 5+
в) (х 2) 4 (х 4) 3
г) (у у 9) 2
3. Найдите значение выражений:
Приложение
Определение степени.
Вариант 2
1ю Запишите произведение в виде степени:
а) 0,4 0,4 0,4
в) а а а а а а а а
г) (-у) (-у) (-у) (-у)
д) (bс) (bс) (bс)
2. Представьте в виде квадрата числа:
3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
в) -1 3 + (-2) 4
г) -6 2 + (-3) 2
д) 4 5 2 – 100
Вариант 3
1. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,5 0,5 0,5
в) с с с с с с с с с
г) (-х) (-х) (-х) (-х)
д) (ab) (ab) (ab)
2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .
3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
в) -1 5 + (-3) 2
г) -5 3 + (-4) 2
д) 5 4 2 - 100
Вариант 4
1. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,7 0,7 0,7
в) х х х х х х
г) (-а) (-а) (-а)
д) (bс) (bс) (bс) (bc)
2. Представьте в виде квадрата числа:
3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
в) -1 4 + (-3) 3
г) -3 4 + (-5) 2
д) 100 - 3 2 5
Умножение степеней.
Вариант 2
1. Представить в виде степени:
а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5
б) а 7 а 3 ж) 2 3 4
в) у 5 у з) 4 3 16
г) а а 7 и) 4 2 5
д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 3 2 3 3 в) 16 2 3
б) 2 4 2 5 г) 9 81
Вариант 3
1. Представить в виде степени:
а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6
б) х 4 х 7 ж) 3 5 9
в) b 6 b з) 5 3 25
г) у у 8 и) 49 7 4
д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 3 3 3 4 в) 27 3 4
б) 2 4 2 6 г) 16 64
Вариант 4
1. Представить в виде степени:
а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6
б) х 7 х 8 ж) 3 4 27
в) у 6 у з) 4 3 16
г) х х 10 и) 36 6 3
д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
а) 2 6 2 3 в) 64 2 4
б) 3 5 3 2 г) 81 27
Деление степеней.
Вариант 2
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
