Какая формула выражает классический закон сложения скоростей. Релятивистский закон сложения скоростей: определение, особенности и формула. Закон сложения скоростей в классической механике

Которой были сформулированы Ньютонов в конце XVII века, около двухсот лет считалась все объясняющей и непогрешимой. Вплоть до XIX столетия ее принципы казались всемогущими и составляли основу физики. Однако к указанному периоду начали появляться новые факты, которые невозможно было втиснуть в привычные рамки известных законов. Со временем они получили иное объяснение. Случилось это с появлением теории относительности и загадочной науки - квантовой механики. В данных дисциплинах радикальному пересмотру подверглись все ранее принятые представления о свойствах времени и пространства. В частности, релятивистский закон сложения скоростей красноречиво доказал ограниченность классических догм.

Простое сложение скоростей: когда это возможно?

Классика Ньютона в физике и поныне считается верной, а законы ее применяются для решения многих задач. Только следует учитывать, что действуют они в привычном для нас мире, где скорости самых разных объектов, как правило, не бывают значительными.

Представим ситуацию, что поезд едет из Москвы. Скорость его перемещения составляет 70 км/час. А в это время по ходу движения из одного вагона в другой путешествует пассажир, пробегая 2 метра за одну секунду. Чтобы узнать быстроту его перемещения относительно домов и деревьев, мелькающих за окном поезда, указанные скорости следует просто сложить. Поскольку 2 м/с соответствуют 7,2 км/час, то искомая скорость окажется 77,2 км/час.

Мир высоких скоростей

Другое дело фотоны и нейтрино, они подчиняются совершенно другим правилам. Для них-то и действует релятивистский закон сложения скоростей, а показанный выше принцип считается для них совершенно неприменимым. Почему?

Согласно специальной теории относительности (СТО), любой объект не может перемещаться со скоростью быстрее света. Она в крайнем случае только способна приблизительно быть сравнимой с этим параметром. Но если на секунду представить (хотя на практике это невозможно), что в предыдущем примере поезд и пассажир двигаются примерно таким образом, то скорость их относительно покоящихся на земле предметов, мимо которых проезжает состав, оказалась бы равной практически двум световым. А этого быть не должно. Как же производят расчеты в этом случае?

Известный из курса физики 11 класса релятивистский закон сложения скоростей представляется формулой, приведенной ниже.

Что это значит?

Если имеются две системы отсчета, скорость некоего объекта относительно которых V 1 и V 2 , то для расчетов можно пользоваться указанным соотношением, независимо от значения определенных величин. В случае когда обе они значительно меньше скорости света, знаменатель в правой части равенства практически равен 1. Это значит, что формула релятивистского закона сложения скоростей превращается в самую обычную, то есть V 2 = V 1 + V.

Следует также обратить внимание, что когда V 1 = C (то есть скорости света), при любом значении V, V 2 не превысит эту величину, то есть тоже окажется равной С.

Из области фантастики

С - это фундаментальная константа, величина ее равна 299 792 458 м/с. Со времен Эйнштейна считается, что ни один объект во Вселенной не может превзойти движение света в вакууме. Именно так можно определить кратко релятивистский закон сложения скоростей.

Однако писатели-фантасты не захотели с этим смириться. Они придумывали и продолжают сочинять множество потрясающих историй, герои которых опровергают подобное ограничение. В мгновение ока их космические корабли перемещаются в далекие галактики, находящиеся за много тысяч световых лет от старушки Земли, сводя на нет при этом все установленные законы мироздания.

Но почему Эйнштейн и его последователи уверены, что на практике подобного не может случиться? Следует поговорить о том, по какой причине так незыблем световой предел и неприкосновенен релятивистский закон сложения скоростей.

Связь причин и следствий

Свет - носитель информации. Он является отражением реальности Вселенной. А световые сигналы, достигающие наблюдателя, воссоздают в его сознании картины действительности. Так бывает в привычном для нас мире, где все идет своим чередом и подчиняется обычным правилам. И мы с рождения приучены к тому, что не может быть иначе. Но если представить, что все вокруг изменилось, и некто отправился в космос, путешествуя на сверхсветовой скорости? Поскольку он опережает фотоны света, мир начинает видеться ему как в кинопленке, прокрученной назад. Вместо завтра для него наступает вчера, потом позавчера и так далее. А завтрашний день он никогда не увидит, пока не остановится, конечно.

Кстати, подобную идею тоже активно взяли на вооружение писатели-фантасты, создавая по таким принципам аналог машины времени. Их герои попадали в прошлое и путешествовали там. Однако рушились причинно-следственные связи. И оказывалось очевидно, что на практике такое вряд ли возможно.

Другие парадоксы

Причина не может опережать противоречит нормальной человеческой логике, ведь во Вселенной должен быть порядок. Однако СТО предполагает и другие парадоксы. Она вещает, что, если даже поведение объектов подчиняется строгому определению релятивистского закона сложения скоростей, в точности сравняться в быстроте перемещения с фотонами света ему тоже невозможно. Почему? Да потому что начинают происходить в полном смысле волшебные превращения. Масса бесконечно увеличивается. Размеры материального объекта в направлении движения неограниченно приближаются к нулю. И опять же пертурбаций со временем избежать полностью не удается. Оно хоть и не движется назад, но при достижении скорости света полностью останавливается.

Затмение Ио

СТО утверждает, что фотоны света являются самыми быстрыми объектами во Вселенной. В таком случае, как же удалось измерить их скорость? Просто человеческая мысль оказалась проворней. Она смогла решить подобную дилемму, а следствием ее и стал релятивистский закон сложения скоростей.

Подобные вопросы решались еще во времена Ньютона, в частности, в 1676 году датским астроном О. Ремером. Он сообразил, что скорость сверхбыстрого света возможно определить лишь только в том случае, когда он проходит огромные расстояния. Подобное, как он подумал, бывает возможным только на небе. А случай воплотить указанную идею в жизнь вскоре представился, когда Ремер наблюдал в телескоп затмение одного из спутников Юпитера под названием Ио. Промежуток времени между входом в затемнение и появлением в поле зрения этой планеты в первый раз составил около 42,5 часа. И на этот раз все примерно соответствовало предварительным расчетам, проведенным согласно известному периоду обращения Ио.

Через несколько месяцев Ремер вновь произвел свой эксперимент. В этот период Земля значительно удалилась от Юпитера. И оказалось, что Ио опоздал показать свой лик на 22 минуты в сравнении со сделанными ранее предположениями. Что это значило? Объяснение было в том, что спутник совсем не задержался, а вот световым сигналам от него понадобилось некоторое время, чтобы преодолеть значительное расстояние до Земли. Произведя на основе этих данных расчеты, астроном подсчитал, что скорость света очень значительна и составляет около 300 000 км/с.

Опыт Физо

Предвестник релятивистского закона сложения скоростей - опыт Физо, произведенный почти двумя веками позже, подтвердил правильно догадок Ремера. Только известный французский физик в 1849 году провел уже лабораторные опыты. А для реализации их был придуман и сконструирован целый оптический механизм, аналог которого можно увидеть на рисунке ниже.

Свет, исходил от источника (это был этап 1). Потом он отражался от пластины (этап 2), проходил между зубцами вращающегося колеса (этап 3). Далее лучи попадали на зеркало, расположенное на значительном расстоянии, измеряемом в значении 8,6 километра (этап 4). В заключении свет отражался обратно и проходил через зубцы колеса (этап 5), попадал в глаза наблюдателя и фиксировался им (этап 6).

Вращение колеса осуществлялось с разной скоростью. При медленном передвижении, свет был виден. При увеличении скорости, лучи начинали исчезать, не достигая зрителя. Причина в том, что на перемещение лучам требовалось некоторое время, а за данный период, зубья колеса немного сдвигались. Когда же скорость вращения снова возрастала, свет опять достигал глаза наблюдателя, ведь теперь зубья, перемещаясь быстрее, вновь позволяли лучам проникать сквозь зазоры.

Принципы СТО

Релятивистская теория впервые была представлена миру Эйнштейном в 1905 году. Посвящена данная работа описанию событий, происходящих в самых разных системах отсчета, поведению магнитных и электромагнитных полей, частиц и объектов при движении их, максимально сравнимом со скоростями света. Великий физик описал свойства времени и пространства, а также рассмотрел поведение других параметров, размеров физических тел и их масс в указанных условиях. Среди основных принципов Эйнштейн назвал равноправие любых инерциальных систем отсчета, то есть он имел в виду сходство процессов, протекающих в них. Другой постулат релятивистской механики - закон сложения скоростей в новом, неклассическом варианте.

Пространство, согласно данной теории, представляется, как пустота, где функционирует все остальное. Время определяется как некая хронология происходящих процессов и событий. Оно же впервые называется в качестве четвертого измерения самого пространства, получающего теперь наименование "пространство-время".

Преобразования Лоренца

Подтверждают релятивистской закон сложения скоростей преобразования Лоренца. Так принято называть математические формулы, которые в окончательном своем варианте представлены ниже.

Эти математические соотношения занимают центральное место в теории относительности и служат для преобразования координат и времени, будучи написаны для четырехместного пространства-времени. Указанное наименование представленные формулы получили по предложению Анри Пуанкаре, которые разрабатывая математический аппарат для теории относительности, заимствовал у Лоренца некоторые идеи.

Подобные формулы доказывают не только невозможность преодоления сверхзвукового барьера, но и незыблемость принципа причинности. Согласно им, появилась возможность математически обосновать замедление времени, сокращение длин объектов и прочие чудеса, происходящие в мире сверхвысоких скоростей.

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение.

Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона

Преобразование координат и времени

Закон сложения скоростей является следствием преобразований координат и времени.

Пусть частица в момент времени t’ находится в точке (x’, y’, z’) , а через малое время Δt’ в точке (x’ + Δx’, y’ + Δy’, z’ + Δz’) системы отсчета K’ . Это два события в истории дви-жущейся частицы. Имеем:

Δx’ = v x ’ Δt’,

где
v x ’ — x -я компонента скорости частицы в системе K’.

Аналогичные соотношения имеют место для остальных компонент.

Разности координат и промежутки времени (Δx, Δy, Δz, Δt) преобразуются так же, как координаты:

Δx = Δx’ + VΔt’,

Δy = Δу’ ,

Δz = Δz’,

Δt = Δt’.

Отсюда следует, что скорость той же частицы в системе K будет иметь компоненты:

v x = Δx / Δt = (Δx’ + VΔt’) / Δt = v x ’ + V,

v y = v y ’,

v z = v z ’.

Это закон сложения скоростей . Его можно выразить в векторной форме:

v̅ = v̅’ + V

(координатные оси в системах K и K’ параллельны).

Закон сложения скоростей

Если тело движется относительно системы отсчета К 1 со скоростью V 1 , а сама система отсчета К 1 движется относительно другой системы отсчета К 2 со скоростью V , то скорость тела (V 2 ) относительно второй системы отсчета К 2 равна геометрической сумме векторов V 1 и V .

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

\(\vec{V_2} = \vec{V_1} + \vec{V} \)

где всегда
К 2 - неподвижная система отсчета
V 2 - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (К 2 )

К 1 - подвижная система отсчета
V 1 - скорость тела относительно подвижной системы отсчета (К 1 )

V - скорость подвижной системы отсчета (К 1 ) относительно неподвижной системы отсчета (К 2 )

Закон сложения ускорений для поступательного движения

При поступательном движении тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной, вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения) и вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}\]

В общем случае, когда движение материальной точки (тела) является криволинейным, его в каждый момент времени можно представить как комбинацию поступательного движения материальной точки (тела) относительно подвижной системы отсчёта со скоростью \({\overrightarrow{v}}_r \) , и вращательного движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной с угловой скоростью \({\overrightarrow{\omega }}_e \) . В этом случае, при сложении ускорений, наряду с относительным и переносным ускорением необходимо учитывать и ускорение Кориолиса \(a_c=2{\overrightarrow{\omega }}_e\times {\overrightarrow{v}}_r \) , которое характеризует изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.

Теорема Кориолиса

Вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта \(\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС} \) (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета \({\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН} \) (относительного ускорения), вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной \({\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР} \) (переносного ускорения), и кориолисова ускорения \(a_c=2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r={\overrightarrow{a}}_{КОР} \) :

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}+{\overrightarrow{a}}_{КОР}\]

Абсолютное перемещение равно сумме относительного и переносного перемещений.

Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно сумме перемещений: тела в подвижной системе отсчета и самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Скорость – это количественная характеристика движения тела.

Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt, за который произошло это перемещение. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения . Средняя скорость определяется по формуле:

Мгновенная скорость , то есть скорость в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Иными словами, мгновенная скорость в данный момент времени – это отношение очень малого перемещения к очень малому промежутку времени, за который это перемещение произошло.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения тела (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Вектор мгновенной скорости.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду, то есть единицей скорости принято считать скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором за одну секунду тело проходит путь в один метр. Единица измерения скорости обозначается м/с . Часто скорость измеряют в других единицах. Например, при измерении скорости автомобиля, поезда и т.п. обычно используется единица измерения километр в час: или

Сложение скоростей

Скорости движения тела в различных системах отсчёта связывает между собой классический закон сложения скоростей .

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скоростей тела в подвижной системе отсчёта и самой подвижной системы отсчёта относительно неподвижной.

Например, пассажирский поезд движется по железной дороге со скоростью 60 км/ч. По вагону этого поезда идет человек со скоростью 5 км/ч. Если считать железную дорогу неподвижной и принять её за систему отсчёта, то скорость человека относительно системы отсчёта (то есть относительно железной дороги), будет равна сложению скоростей поезда и человека, то есть и

Однако это справедливо только в том случае, если человек и поезд движутся по одной линии. Если же человек будет двигаться под углом, то придётся учитывать этот угол, вспомнив о том, что скорость – это векторная величина .

А теперь рассмотрим описанный выше пример более подробно – с деталями и картинками.

Итак, в нашем случае железная дорога – это неподвижная система отсчёта . Поезд, который движется по этой дороге – это подвижная система отсчёта . Вагон, по которому идёт человек, является частью поезда.

Скорость человека относительно вагона (относительно подвижной системы отсчёта) равна 5 км/ч. Обозначим её буквой Ч.

Скорость поезда (а значит и вагона) относительно неподвижной системы отсчёта (то есть относительно железной дороги) равна 60 км/ч. Обозначим её буквой В. Иначе говоря, скорость поезда – это скорость подвижной системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

Скорость человека относительно железной дороги (относительно неподвижной системы отсчёта) нам пока неизвестна. Обозначим её буквой .

Свяжем с неподвижной системой отсчёта (рис. 1.7) систему координат ХОY, а с подвижной системой отсчёта – систему координат X П О П Y П (см. также раздел Система отсчёта). А теперь попробуем найти скорость человека относительно неподвижной системы отсчёта, то есть относительно железной дороги.

За малый промежуток времени Δt происходят следующие события:

Тогда за этот промежуток времени перемещение человека относительно железной дороги:

Это закон сложения перемещений . В нашем примере перемещение человека относительно железной дороги равно сумме перемещений человека относительно вагона и вагона относительно железной дороги.

Рис. 1.7. Закон сложения перемещений.

Закон сложения перемещений можно записать так:

= Δ Ч Δt + Δ B Δt

Скорость человека относительно железной дороги равна: Так как

Скорость человека относительно вагона: Скорость вагона относительно железной дороги: Поэтому скорость человека относительно железной дороги будет равна: Это закон сложения скоростей :

av-physics.narod.ru

Относительность движения

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Можно ли быть неподвижным и при этом двигаться быстрее автомобиля Формулы 1? Оказывается, можно. Любое движение зависит от выбора системы отсчета, то есть любое движение относительно. Тема сегодняшнего урока: «Относительность движения. Закон сложения перемещений и скоростей». Мы узнаем, как выбрать систему отсчета в том или ином случае, как при этом найти перемещение и скорость тела.

Относительность движения

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение. Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона (рис. 1).

Рис. 1. Выбор системы отсчета

Какие же физические величины и понятия зависят от выбора системы отсчета?

1. Положение или координаты тела

Рассмотрим произвольную точку . В различных системах она имеет разные координаты (рис. 2).

Рис. 2. Координаты точки в разных системах координат

Рассмотрим траекторию точки, находящейся на пропеллере самолета, в двух системах отсчета: системе отсчета, связанной с пилотом, и системе отсчета, связанной с наблюдателем на Земле. Для пилота данная точка будет совершать круговое вращение (рис. 3).

Рис. 3. Круговое вращение

В то время как для наблюдателя на Земле траекторией данной точки будет винтовая линия (рис. 4). Очевидно, что траектория зависит от выбора системы отсчета.

Рис. 4. Винтовая траектория

Относительность траектории. Траектории движения тела в различных системах отсчета

Рассмотрим, как меняется траектория движения в зависимости от выбора системы отсчета на примере задачи.

Какой будет траектория точки на конце пропеллера в разных СО?

1. В СО, связанной с летчиком самолета.

2. В СО, связанной с наблюдателем на Земле.

1. Относительно самолета ни летчик, ни пропеллер не перемещаются. Для летчика траектория точки будет казаться окружностью (рис. 5).

Рис. 5. Траектория точки относительно летчика

2. Для наблюдателя на Земле точка движется двумя способами: вращаясь и двигаясь вперед. Траектория будет винтовой (рис. 6).

Рис. 6. Траектория точки относительно наблюдателя на Земле

Ответ : 1) окружность; 2) винтовая линия.

На примере данной задачи мы убедились, что траектория – это относительное понятие.

В качестве самостоятельной проверки предлагаем вам решить следующую задачу:

Какой будет траектория точки на конце колеса относительно центра колеса, если это колесо совершает поступательное движение вперед, и относительно точек, находящихся на земле (неподвижный наблюдатель)?

3. Перемещение и путь

Рассмотрим ситуацию, когда плывет плот и в какой-то момент с него спрыгивает пловец и стремится переправиться на противоположный берег. Перемещение пловца относительно рыбака, сидящего на берегу, и относительно плота будет разным (рис. 7).

Перемещение относительно земли называют абсолютным, а относительно движущегося тела – относительным. Перемещение движущегося тела (плота) относительно неподвижного тела (рыбака) называют переносным.

Рис. 7. Перемещение пловца

Из примера следует, что перемещение и путь являются относительными величинами.

С помощью предыдущего примера можно легко показать, что скорость тоже относительная величина. Ведь скорость – это отношение перемещения ко времени. Время у нас одно и то же, а перемещение разное. Следовательно, скорость будет разной.

Зависимость характеристик движения от выбора системы отсчета называется относительностью движения .

В истории человечества были и драматичные случаи, связанные как раз с выбором системы отсчета. Казнь Джордано Бруно, отречение Галилео Галилея – все это следствия борьбы между сторонниками геоцентрической системы отсчета и гелиоцентрической системы отсчета. Уж очень сложно было человечеству привыкнуть к мысли о том, что Земля – это вовсе не центр мироздания, а вполне обычная планета. А движение можно рассматривать не только относительно Земли, это движение будет абсолютным и относительно Солнца, звезд или любых других тел. Описывать движение небесных тел в системе отсчета, связанной с Солнцем, намного удобнее и проще, это убедительно показали сначала Кеплер, а потом и Ньютон, который на основании рассмотрения движения Луны вокруг Земли вывел свой знаменитый закон всемирного тяготения.

Если мы говорим, что траектория, путь, перемещение и скорость являются относительными, то есть зависят от выбора системы отсчета, то про время мы этого не говорим. В рамках классической, или Ньютоновой, механики время есть величина абсолютная, то есть протекающее во всех системах отсчета одинаково.

Рассмотрим, как находить перемещение и скорость в одной системе отсчета, если они нам известны в другой системе отсчета.

Рассмотрим предыдущую ситуацию, когда плывет плот и в какой-то момент с него спрыгивает пловец и стремится переправиться на противоположный берег.

Как же связано перемещение пловца относительно неподвижной СО (связанной с рыбаком) с перемещением относительно подвижной СО (связанной с плотом) (рис. 8)?

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Перемещение в неподвижной системе отсчета мы назвали . Из треугольника векторов следует, что . Теперь перейдем к поиску соотношения между скоростями. Вспомним, что в рамках Ньютоновой механики время является абсолютной величиной (время во всех системах отсчета течет одинаково). Значит, каждое слагаемое из предыдущего равенства можно разделить на время. Получаем:

– это скорость, с которой движется пловец для рыбака;

– это собственная скорость пловца;

– это скорость плота (скорость течения реки).

Задача на закон сложения скоростей

Рассмотрим закон сложения скоростей на примере задачи.

Два автомобиля движутся навстречу друг другу: первый автомобиль со скоростью , второй – со скоростью . С какой скоростью сближаются автомобили (рис. 9)?

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Применим закон сложения скоростей. Для этого перейдем от привычной СО, связанной с Землей, к СО, связанной с первым автомобилем. Таким образом, первый автомобиль становится неподвижным, а второй движется к нему со скоростью (относительная скорость). С какой скоростью, если первый автомобиль неподвижен, вращается вокруг первого автомобиля Земля? Она вращается со скоростью и скорость направлена по направлению скорости второго автомобиля (переносная скорость). Два вектора, которые направлены вдоль одной прямой, суммируются. .

Ответ: .

Границы применимости закона сложения скоростей. Закон сложения скоростей в теории относительности

Долгое время считалось, что классический закон сложения скоростей справедлив всегда и применим ко всем системам отсчета. Однако порядка лет назад оказалось, что в некоторых ситуациях данный закон не работает. Рассмотрим такой случай на примере задачи.

Представьте себе, что вы находитесь на космической ракете, которая движется со скоростью . И капитан космической ракеты включает фонарик в направлении движения ракеты (рис. 10). Скорость распространения света в вакууме составляет . Какой же будет скорость света для неподвижного наблюдателя на Земле? Будет ли она равна сумме скоростей света и ракеты?

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Дело в том, что тут физика сталкивается с двумя противоречащими концепциями. С одной стороны, согласно электродинамике Максвелла, максимальная скорость – это скорость света, и она равна . С другой стороны, согласно механике Ньютона, время является абсолютной величиной. Задача решилась, когда Эйнштейн предложил специальную теорию относительности, а точнее ее постулаты. Он первым предположил, что время не является абсолютным. То есть где-то оно течет быстрее, а где-то медленнее. Конечно, в нашем мире небольших скоростей мы не замечаем данный эффект. Для того чтобы почувствовать эту разницу, нам необходимо двигаться со скоростями, близкими к скорости света. На основании заключений Эйнштейна был получен закон сложения скоростей в специальной теории относительности. Он выглядит следующим образом:

– это скорость относительно неподвижной СО;

– это скорость относительно подвижной СО;

– это скорость подвижной СО относительно неподвижной СО.

Если подставить значения из нашей задачи, то получим, что скорость света для неподвижного наблюдателя на Земле будет составлять .

Противоречие было решено. Также можно убедиться, что если скорости очень малы по сравнению со скоростью света, то формула для теории относительности переходит в классическую формулу для сложения скоростей.

В большинстве случаев мы будем пользоваться классическим законом.

Заключение

Сегодня мы выяснили, что движение зависит от системы отсчета, что скорость, путь, перемещение и траектория – это понятия относительные. А время в рамках классической механики – понятие абсолютное. Научились применять полученные знания, разобрав некоторые типовые примеры.

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

1. Интернет-портал Class-fizika.narod.ru (Источник).
2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
3. Интернет-портал Fizika.ayp.ru (Источник).

1. Дать определение относительности движения.
2. Какие физические величины зависят от выбора системы отсчета?

Закон сложения перемещений и скоростей

Пусть по реке плывет моторная лодка и нам известна ее скорость, относительно воды, точнее, относительно системы отсчета К1, движущейся вместе с водой.

Такую систему отсчета можно связать, например, с мячом, выпавшим из лодки и плывущим по течению. Если известна еще и скорость течения реки относительно системы отсчета К2, связанной с берегом, т. е. скорость системы отсчетаК1 относительно системы отсчета К2, то можно определить скорость лодки относительно берега (рис.1.20).

За промежуток времени перемещения лодки и мяча относительно берега равны и (рис.1.20), а перемещение лодки относительно мяча равно. Из рисунка 1.21 видно, что

Разделив левую и правую части уравнения (1.8) на, получим

Учтем также, что отношения перемещений к интервалу времени равны скоростям. Поэтому

Скорости складываются геометрически, как и все другие векторы.

Мы получили простой и замечательный результат, который называется законом сложения скоростей: если тело движется относительно некоторой системы отсчета К1 со скоростью и сама система отсчета К1 движется относительно другой системы отсчета К2 со скоростью, то скорость тела относительно второй системы отсчета равна геометрической сумме скоростей и. Закон сложения скоростей справедлив и для неравномерного движения. В этом случае складываются мгновенные скорости.

Как и любое векторное уравнение, уравнение (1.9) представляет собой компактную запись скалярных уравнений, в данном случае — для сложения проекций скоростей движения на плоскости:

Проекции скоростей складываются алгебраически.

Закон сложения скоростей позволяет определять скорость тела относительно разных систем отсчета, движущихся относительно друг друга.

Задание на самостоятельную подготовку:

1. Быть готовым к ответам на следующие вопросы.
1) Сформулируйте закон сложения скоростей.
2) Что позволяет определять закон сложения скоростей?
2. Выполнить тестовые задания, решить задачи.
1) Упр. 2(1,2) (Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика. 10 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. – М: Просвещение, 2014)
2) № 41, 42, 44 (Парфентьева Н.А. Сборник задач по физике 10-11 классы: пособие для учащихся общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. – М: Просвещение, 2014)
3) Тест 10.1.1 № 18,24
3. Основная литература.
1) Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика. 10 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. – М: Просвещение, 2014
2) Парфентьева Н.А. Сборник задач по физике 10-11 классы: пособие для учащихся общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. – М: Просвещение, 2014

Сложение скоростей и переход в другую систему отсчета при движении вдоль одной прямой

1. Сложение скоростей

В некоторых задачах рассматривается движение тела относительно другого тела, которое также движется в выбранной системе отсчета. Рассмотрим пример.

По реке плывет плот, а по плоту идет человек в направлении течения реки – в том направлении, куда плывет плот (рис. 3.1, а). Используя установленный на плоту столб, можно отмечать как перемещение плота относительно берега, так и перемещение человека относительно плота.

Обозначим чп скорость человека относительно плота, а пб – скорость плота относительно берега. (Обычно принимают, что скорость плота относительно берега равна скорости течения реки. Скорость и перемещение тела 1 относительно тела 2 мы будем обозначать с помощью двух индексов: первый индекс относится к телу 1, а второй – к телу 2. Например, 12 обозначает скорость тела 1 относительно тела 2.)

Рассмотрим перемещения человека и плота за некоторый промежуток времени t.

Обозначим пб перемещение плота относительно берега, а чп – перемещение человека относительно плота (рис. 3.1, б).

Векторы перемещений изображены на рисунках пунктирными стрелками, чтобы отличить их от векторов скоростей, изображенных сплошными стрелками.

Перемещение чб человека относительно берега равно векторной сумме перемещения человека относительно плота и перемещения плота относительно берега (рис. 3.1, в):

Чб = пб + чп (1)

Свяжем теперь перемещения со скоростями и промежутком времени t. Мы получим:

Чп = чп t, (2)
пб = пб t, (3)
чб = чб t, (4)

где чб – скорость человека относительно берега.
Подставляя формулы (2–4) в формулу (1), получаем:

Чб t = пб t + чп t.

Сократим обе части этого уравнения на t и получим:

Чб = пб + чп. (5)

Правило сложение скоростей

Соотношение (5) представляет собой правило сложения скоростей. Оно является следствием сложения перемещений (см. рис. 3.1, в, внизу). В общем виде правило сложения скоростей выглядит так:

1 = 12 + 2 . (6)

где 1 и 2 – скорости тел 1 и 2 в одной и той же системе отсчета, а 12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Итак, скорость 1 тела 1 в данной системе отсчета равна векторной сумме скорости 12 тела 1 относительно тела 2 и скорости 2 тела 2 в той же системе отсчета.

В рассмотренном выше примере скорость человека относительно плота и скорость плота относительно берега были направлены одинаково. Рассмотрите теперь случай, когда они направлены противоположно, Не забудьте, что скорости надо складывать по правилу сложения векторов!

1. Человек идет по плоту против течения (рис. 3.2). Сделайте в тетради чертеж, с помощью которого можно найти скорость человека относительно берега. Масштаб для вектора скорости: две клетки соответствуют 1 м/с.

Уметь складывать скорости необходимо при решении задач, в которых рассматривается движение лодок или судов по реке или полет самолета при наличии ветра. При этом текущую воду или движущийся воздух можно представлять себе как «плот», который движется с постоянной скоростью относительно земли, «неся» на себе суда, самолеты и пр.

Например, скорость плывущей по реке лодки относительно берега равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки.

2. Скорость моторной лодки относительно воды равна 8 км/ч, а скорость течения равна 4 км/ч. За сколько времени лодка проплывет от пристани А до пристани Б и обратно, если расстояние между ними 12 км?

3. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. За то время, пока лодка доплыла до пристани Б, плот проплыл треть этого расстояния.
а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?
б) Во сколько раз время движения лодки из Б в А больше, чем время ее движения из А в Б?

4. Самолет пролетел из города М в город Н за 1,5 ч при попутном ветре. Обратный перелет при встречном ветре занял 1 ч 50 мин. Скорость самолета относительно воздуха и скорость ветра оставались постоянными.
а) Во сколько раз скорость самолета относительно воздуха больше скорости ветра?
б) Сколько времени занял бы перелет из М в Н в безветренную погоду?

2. Переход в другую систему отсчета

Проследить за движением двух тел намного проще, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из этих тел. Тело, с которым связана система отсчета, покоится относительно нее, поэтому следить надо только за другим телом.

Моторная лодка обгоняет плывущий по реке плот. Через час после этого она разворачивается и плывет обратно. Скорость лодки относительно воды 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч. Через какое время после разворота лодка встретит плот?

Если решать эту задачу в системе отсчета, связанной с берегом, то пришлось бы следить за движением двух тел – плота и лодки, да еще учесть при этом, что скорость лодки относительно берега зависит от скорости течения.

Если же перейти в систему отсчета, связанную с плотом, то плот и река «остановятся»: ведь плот движется по реке как раз со скоростью течения. Поэтому в этой системе отсчета все происходит как в озере, где течения нет: лодка плывет от плота и к плоту с одинаковой по модулю скоростью! И раз она удалялась в течение часа, то через час она приплывет обратно.

Как видим, для решения задачи не понадобились ни скорость течения, ни скорость лодки.

5. Проезжая под мостом на лодке, человек уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он обнаружил пропажу, поплыл обратно и нашел плывущую шляпу на расстоянии 1 км от моста. Сначала лодка плыла по течению и ее скорость относительно воды была равна 6 км/ч.
Перейдите в систему отсчета, связанную со шляпой (рис. 3.3), и ответьте на следующие вопросы.
а) Сколько времени человек плыл к шляпе?
б) Чему равна скорость течения?
в) Какая информация в условии не нужна для ответа на эти вопросы?

6. По прямой дороге со скоростью 1 м/с идет пешая колонна длиной 200 м. Находящийся во главе колонны командир посылает всадника с поручением к замыкающему. Через сколько времени всадник вернется обратно, если он скачет со скоростью 9 м/с?

Выведем общую формулу для нахождения скорости тела в системе отсчета, связанной с другим телом. Воспользуемся для этого правилом сложения скоростей.

Напомним, что оно выражается формулой

1 = 2 + 12 , (7)

где 12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Перепишем формулу (1) в виде

12 = 1 – 2 , (8)

где 12 – скорость тела 1 в системе отсчета, связанной с телом 2.

Эта формула позволяет найти скорость 12 тела 1 относительно тела 2, если известны скорость 1 тела 1 и скорость 2 тела 2.

7. На рисунке 3.4 изображены три автомобиля, скорости которых даны в масштабе: двум клеткам соответствует скорость 10 м/с.

Найдите:
а) скорость синего и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с красным автомобилем;
б) скорость синего и красного автомобилей в системе отсчета, связанной с фиолетовым автомобилем;
в) скорость красного и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с синим автомобилем;
г) какая (какие) из найденных скоростей наибольшая по модулю? наименьшая?

Дополнительные вопросы и задания

8. Человек прошел по плоту длиной b и вернулся в начальную точку. Скорость человека относительно плота все время направлена вдоль реки и равна по модулю vч, а скорость течения равна vт. Найдите выражение для пути, пройденного человеком относительно берега, если:
а) сначала человек шел по направлению течения;
б) сначала человек шел в направлении, противоположном течению (рассмотрите все возможные случаи!).
в) Найдите весь путь, пройденный человеком относительно берега: 1) при b = 30 м, v ч = 1,5 м/с, v т = 1 м/с; 2) при b = З0 м, v ч = 0,5 м/с, v т = 1 м/с.

9. Пассажир идущего поезда заметил, что мимо его окна промчались две встречные электрички с интервалом 6 мин. С каким интервалом они проехали мимо станции2 Скорость поезда 100 км/ч, скорость электричек 60 км/ч.

10. Два человека одновременно начали спуск на эскалаторе. Первый стоял на одной ступеньке. С какой скоростью шел по эскалатору второй, если он спустился в 3 раза быстрее, чем первый? Скорость эскалатора 0,5 м/с.

«Физика - 10 класс»

Изменится ли движение, если мы будем его описывать в разных системах координат?
В любой ли системе координат удобно описывать движение?

Пусть по реке плывёт моторная лодка и нам известна её скорость 1 относительно воды, точнее, относительно системы координат K 1 , движущейся вместе с водой (рис. 1.19).

Такую систему координат можно связать, например, с мячом, выпавшим из лодки и плывущим по течению. Если известна ещё и скорость течения реки относительно системы координат К 2 , связанной с берегом, т. е. скорость системы координат Кх относительно системы координат К 2 , то можно определить скорость лодки 2 относительно берега.

За промежуток времени Δt перемещения лодки и мяча относительно берега равны Δ 2 и Δ (рис. 1.20), а перемещение лодки относительно мяча равно Δ 1 . Из рисунка 1.20 видно, что

Δ 2 = Δ 1 + Δ. (1.7)

Разделив левую и правую части уравнения (1.7) на Δt, получим

Учтём также что отношения перемещений к интервалу времени равны скоростям. Поэтому

Скорости складываются геометрически, как и все другие векторы. Уравнение (1.8) называют законом сложения скоростей .

Закон сложения скоростей

Если тело движется относительно некоторой системы координат К 1 со скоростью и сама система К 1 движется относительно другой системы координат К 2 со скоростью 1 , то скорость тела относительно второй системы равна геометрической сумме скоростей 1 и .

Как запишется классический закон сложения скоростей, если (1.9) неподвижной считать систему, связанную с мячом, а подвижной - с берегом?

Как и любое векторное уравнение, уравнение (1.8) представляет собой компактную запись скалярных уравнений, в данном случае - для сложения проекций скоростей движения на плоскости:

υ 2x = υ 1x + υ x ,
υ 2y = υ 1y + υ y . (1.9)

Проекции скоростей складываются алгебраически.

Закон сложения скоростей позволяет определять скорость тела относительно разных систем отсчёта, движущихся относительно друг друга.

Классический закон сложения скоростей справедлив для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света.

Часто скорость тела относительно неподвижной системы координат называют абсолютной скоростью , относительно подвижной системы координат - относительной, а скорость тела отсчёта, связанного с подвижной системой, относительно неподвижной - переносной скоростью .

Тогда закон сложения скоростей имеет вид a = отн + пер.

Источник: «Физика - 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Физика и познание мира --- Что такое механика ---

1.4. Относительность движения

1.4.1. Закон сложения перемещений и закон сложения скоростей

Механическое движение одного и того же тела выглядит по-разному для разных систем отсчета.

Для определенности будем использовать две системы отсчета (рис. 1.33):

• K - неподвижную систему отсчета;
• K ′ - подвижную систему отсчета.

Рис. 1.33

Система K ′ движется относительно системы отсчета K в положительном направлении оси Ox со скоростью u → .

Пусть в системе отсчета K материальная точка (тело) движется со скоростью v → и за интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r → . Относительно системы отсчета K ′ эта материальная точка имеет скорость v → ′ и за указанный интервал времени ∆t совершает перемещение Δ r ′ → .

Закон сложения перемещений

Перемещения материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (Δ r → и Δ r ′ → соответственно) различаются между собой и связаны законом сложения перемещений :

Δ r → = Δ r ′ → + u → Δ t ,

где Δ r → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в неподвижной системе отсчета K ; Δ r ′ → - перемещение материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в движущейся системе отсчета K ′; u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения перемещений соответствует «треугольник перемещений » (рис. 1.34).

Закон сложения перемещений при решении задач иногда целесообразно записывать в координатной форме :

Δ x = Δ x ′ + u x Δ t , Δ y = Δ y ′ + u y Δ t , }

где ∆x и ∆y - изменение координат x и y материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ; ∆x ′ и ∆y ′ - изменение соответствующих координат материальной точки (тела) за интервал времени ∆t в системе отсчета K ′; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Закон сложения скоростей

Скорости материальной точки в неподвижной (K ) и движущейся (K ′) системах отсчета (v → и v → ′ соответственно) также различаются между собой и связаны законом сложения скоростей :

v → = v → ′ + u → ,

где u → - скорость системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K .

Закону сложения скоростей соответствует «треугольник скоростей » (рис. 1.35).

Рис. 1.35

Закон сложения скоростей при решении задач иногда целесообразно записывать в проекциях на координатные оси :

v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y , }

Относительная скорость движения двух тел

Для определения относительной скорости движения двух тел удобно пользоваться следующим алгоритмом:

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить в системе координат xOy ;

5) записать закон сложения скоростей в виде

v → = v → ′ + u → или v x = v ′ x + u x , v y = v ′ y + u y ; }

6) выразить v → ′:

v → ′ = v → − u →

v ′ x = v x − u x , v ′ y = v y − u y ; }

7) найти модуль вектора относительной скорости v → ′ по формуле

v ′ = v ′ x 2 + v ′ y 2 ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Для определения относительной скорости движения двух тел, движущихся вдоль одной координатной оси , удобно пользоваться следующим алгоритмом:

1) выяснить, какое из тел считается системой отсчета; скорость этого тела обозначить как u → ;

2) скорость второго тела обозначить как v → ;

3) относительную скорость тел обозначить как v → ′ ;

4) векторы v → , v → ′ и u → изобразить на координатной оси Ox ;

5) записать закон сложения скоростей в виде:

v x = v ′ x + u x ;

6) выразить v ′ x:

v ′ x = v x − u x ;

7) найти модуль вектора относительной скорости v ′ → по формуле

v ′ = | v ′ x | ,

где v x и v y - проекции вектора скорости v → материальной точки (тела) в системе отсчета K на координатные оси; v ′ x и v ′ y - проекции вектора скорости v → ′ материальной точки (тела) в системе отсчета K ′ на координатные оси; u x и u y - проекции скорости u → системы отсчета K ′, движущейся относительно системы отсчета K , на координатные оси.

Пример 26. Первое тело движется со скоростью 6,0 м/с в положительном направлении оси Ox , а второе - со скоростью 8,0 м/с в ее отрицательном направлении. Определить модуль скорости первого тела в системе отсчета, связанной со вторым телом.

Решение. Подвижной системой отсчета является второе тело; проекция скорости u → подвижной системы отсчета на ось Ox равна:

u x = −8,0 м/с,

Первое тело относительно неподвижной системы отсчета имеет скорость v → ; ее проекция на ось Ox равна:

v x = 6,0 м/с,

Закон сложения скоростей для решения данной задачи целесообразно записать в проекции на координатную ось, т.е. в следующем виде:

v x = v ′ x + u x ,

где v ′ x - проекция скорости первого тела относительно подвижной системы отсчета (второго тела).

Величина v ′ x является искомой; ее значение определяется формулой

v ′ x = v x − u x .

Произведем вычисление:

v ′ x = 6,0 − (− 8,0) = 14 м/с.

Пример 29. Спортсмены бегут друг за другом цепочкой длиной 46 м с одинаковой скоростью. Навстречу им бежит тренер со скоростью, втрое меньшей скорости спортсменов. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, поворачивает и бежит назад с прежней скоростью. Какова станет длина цепочки, когда все спортсмены будут бежать в обратном направлении?

Решение. Пусть движение спортсменов и тренера происходит вдоль оси Ox , начало которой совпадает с положением последнего спортсмена. Тогда уравнения движения относительно Земли имеют следующий вид:

• последнего спортсмена -

  x 1 (t ) = vt ;

• тренера -

  x 2 (t) = L − 1 3 v t ;

• первого спортсмена -

  x 3 (t ) = L − vt ,

  где v - модуль скорости каждого спортсмена; 1 3 v - модуль скорости тренера; L - первоначальная длина цепочки; t - время.

Свяжем подвижную систему отсчета с тренером.

Уравнение движения последнего спортсмена относительно подвижной системы отсчета (тренера) обозначим x ′(t ) и найдем из закона сложения перемещений, записанного в координатной форме:

x (t ) = x ′(t ) + X (t ), т.е. x ′(t ) = x (t ) − X (t ),

X (t) = x 2 (t) = L − 1 3 v t -

уравнение движения тренера (подвижной системы отсчета) относительно Земли;

x (t ) = x 1 (t ) = vt ;

Подстановка выражений x (t ), X (t ) в записанное уравнение дает:

x ′ (t) = x 1 (t) − x 2 (t) = v t − (L − 1 3 v t) = 4 3 v t − L .

Данное уравнение представляет собой уравнение движения последнего спортсмена относительно тренера. В момент встречи последнего спортсмена и тренера (t = t 0) их относительная координата x ′(t 0) обращается в ноль:

4 3 v t 0 − L = 0 .

Уравнение позволяет найти указанный момент времени:

В этот момент времени все спортсмены начинают бежать в противоположном направлении. Длина цепочки спортсменов определяется разностью координат первого x 3 (t 0) и последнего x 1 (t 0) спортсмена в указанный момент времени:

l = | x 3 (t 0) − x 1 (t 0) | ,

l = | (L − v t 0) − v t 0 | = | L − 2 v t 0 | = | L − 2 v 3 L 4 v | = 0,5 L = 0,5 ⋅ 46 = 23 м.