Парадокс кондорсе, теорема эрроу, или как мы принимаем решения. Аксиомы эрроу Социальный выбор и индивидуальные ценности

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow’s paradox ) - теорема о невозможности «коллективного выбора ». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году . Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность Для любого профиля голосования существует результат - упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n ! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Независимость от посторонних альтернатив Если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность Отсутствие диктатора Независимость от посторонних альтернатив Эффективность по Парето , или принцип единогласия если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y , это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

• $O$ - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
• $L\_i$ - линейный порядок предпочтений $i$-го агента на множестве $O$ заданный отношением $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$ - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов).
• $W:\; L^N\; \backslash to\; L\_W$ - функция общественного благосостояния.
• $\backslash succ\_W$ - коллективные предпочтения.

Дадим формальные определения:

• Парето-эффективность : $W$ парето-эффективна, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Независимость от посторонних альтернатив : $W$ независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O$ и для любых двух профилей предпочтений $[\backslash succ"]$ и $[\backslash succ$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightarrow (o_1 \succ_{W([\succ"])} o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ_{W([\succ ])} o_2).
• Отсутствие диктатора : считаем, что для $W$ отсутствует диктатор, если не существует такого $i$, что $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Теорема Эрроу : если $|O|\; \backslash geq\; 3$, то любая Парето-эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния $W$ имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Если каждый агент помещает исход $b$ в самый верх или самый низ своего списка предпочтений (при этом не требуется, чтобы все агенты действовали одинаково), то и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль $[\backslash succ]$ такой, что в нём для всех агентов $i$ исход $b$ расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, то есть существуют такие $a,\; c\; \backslash in\; O$, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Изменим тогда профиль $[\backslash succ]$ так, чтобы для всех агентов выполнялось $c\; \backslash succ\_i\; a$, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль $[\backslash succ"]$. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Следовательно, в силу транзитивности $\backslash succ\_W$ получаем $a\; \backslash succ\_W\; c$. Но мы предположили, что для всех агентов $c\; \backslash succ\_i\; a$, тогда в силу Парето-эффективности должно быть $c\; \backslash succ\_W\; a$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Для всякого исхода $b$ существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход $b$ из самой нижней позиции в списке $\backslash succ\_W$ в самую верхнюю позицию в этом списке. Иными словами, найдутся два профиля $[\backslash succ^1]$ и $[\backslash succ^2]$, отличающихся только предпочтениями агента $i$, что $b$ находится в конце списка для $[\backslash succ^1\_W]$ и в начале списка для $[\backslash succ^2\_W]$.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход $b$ в самом низу своего списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Ясно, что и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ находится на самой нижней позиции (в силу Парето-эффективности). Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход $b$ с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Когда все агенты поставят исход $b$ первым в своём списке предпочтений, он будет первым и для $\backslash succ\_W$. Таким образом, в какой-то момент $\backslash succ\_W$ изменится. Пусть $n^*$ - агент, который, переставив таким образом $b$, изменил $\backslash succ\_W$ (в первый раз). Обозначим $[\backslash succ^1]$ - профиль предпочтений как раз до того, как $n^*$ переместил $b$, а $[\backslash succ^2]$ - профиль предпочтений сразу же после того, как $n^*$ переместил $b$. Таким образом, в $[\backslash succ^2]$ исход $b$ изменил свою позицию в $\backslash succ\_W$, при этом для всех агентов $b$ находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции $\backslash succ\_i$. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в $\backslash succ\_W$ исход $b$ занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. $n^*$ - диктатор над всеми парами , не включающими в себя $b$.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля $[\backslash succ^2]$ построим $[\backslash succ^3]$ следующим образом: в $\backslash succ\_\{n^*\}$, переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом $a$ и $c$. Тогда, как и в $[\backslash succ^1]$ получим, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в $[\backslash succ^2]$ получим, что $b\; \backslash succ\_W\; c$. Тогда $a\; \backslash succ\_W\; c$. Теперь построим профиль предпочтений $[\backslash succ^4]$ следующим образом: для всех агентов поместим исход $b$ на произвольную позицию в списке предпочтений $\backslash succ\_i$, для агента $n^*$ поместим исход $a$ в произвольную позицию до исхода $с$. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив $a\; \backslash succ\_W\; c$. Мы получили, что все агенты, кроме $n^*$ имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат $a\; \backslash succ\_W\; c$ получился исходя только лишь из предположения, что $a\; \backslash succ\_\{n^*\}\; c$.

Этап 4. $n^*$ - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент $n^\{**\}$ для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, $A\; =\; a,\; B\; =\; b$. Если бы агент $n^\{**\}\; \backslash neq\; n^*$ был дикатором над , никакая замена предпочтений агента $n^*$ не могла бы поменять ранжирование $a$ и $b$ в $\backslash succ\_W$. Но на Этапе 2 агент $n^*$ переставил $b$ с последнего места на первое в $\backslash succ\_W$, и таким образом был обязан поменять местами $a$ и $b$. Следовательно, можно заключить, что $n^\{**\}$ совпадает с $n^*$, то есть $n^*$ и есть диктатор.

Доказательство завершено.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.

Напишите отзыв о статье "Теорема Эрроу"

Ссылки

Примечания

Отрывок, характеризующий Теорема Эрроу

В начале зимы, князь Николай Андреич Болконский с дочерью приехали в Москву. По своему прошедшему, по своему уму и оригинальности, в особенности по ослаблению на ту пору восторга к царствованию императора Александра, и по тому анти французскому и патриотическому направлению, которое царствовало в то время в Москве, князь Николай Андреич сделался тотчас же предметом особенной почтительности москвичей и центром московской оппозиции правительству.
Князь очень постарел в этот год. В нем появились резкие признаки старости: неожиданные засыпанья, забывчивость ближайших по времени событий и памятливость к давнишним, и детское тщеславие, с которым он принимал роль главы московской оппозиции. Несмотря на то, когда старик, особенно по вечерам, выходил к чаю в своей шубке и пудренном парике, и начинал, затронутый кем нибудь, свои отрывистые рассказы о прошедшем, или еще более отрывистые и резкие суждения о настоящем, он возбуждал во всех своих гостях одинаковое чувство почтительного уважения. Для посетителей весь этот старинный дом с огромными трюмо, дореволюционной мебелью, этими лакеями в пудре, и сам прошлого века крутой и умный старик с его кроткою дочерью и хорошенькой француженкой, которые благоговели перед ним, – представлял величественно приятное зрелище. Но посетители не думали о том, что кроме этих двух трех часов, во время которых они видели хозяев, было еще 22 часа в сутки, во время которых шла тайная внутренняя жизнь дома.
В последнее время в Москве эта внутренняя жизнь сделалась очень тяжела для княжны Марьи. Она была лишена в Москве тех своих лучших радостей – бесед с божьими людьми и уединения, – которые освежали ее в Лысых Горах, и не имела никаких выгод и радостей столичной жизни. В свет она не ездила; все знали, что отец не пускает ее без себя, а сам он по нездоровью не мог ездить, и ее уже не приглашали на обеды и вечера. Надежду на замужество княжна Марья совсем оставила. Она видела ту холодность и озлобление, с которыми князь Николай Андреич принимал и спроваживал от себя молодых людей, могущих быть женихами, иногда являвшихся в их дом. Друзей у княжны Марьи не было: в этот приезд в Москву она разочаровалась в своих двух самых близких людях. М lle Bourienne, с которой она и прежде не могла быть вполне откровенна, теперь стала ей неприятна и она по некоторым причинам стала отдаляться от нее. Жюли, которая была в Москве и к которой княжна Марья писала пять лет сряду, оказалась совершенно чужою ей, когда княжна Марья вновь сошлась с нею лично. Жюли в это время, по случаю смерти братьев сделавшись одной из самых богатых невест в Москве, находилась во всем разгаре светских удовольствий. Она была окружена молодыми людьми, которые, как она думала, вдруг оценили ее достоинства. Жюли находилась в том периоде стареющейся светской барышни, которая чувствует, что наступил последний шанс замужества, и теперь или никогда должна решиться ее участь. Княжна Марья с грустной улыбкой вспоминала по четвергам, что ей теперь писать не к кому, так как Жюли, Жюли, от присутствия которой ей не было никакой радости, была здесь и виделась с нею каждую неделю. Она, как старый эмигрант, отказавшийся жениться на даме, у которой он проводил несколько лет свои вечера, жалела о том, что Жюли была здесь и ей некому писать. Княжне Марье в Москве не с кем было поговорить, некому поверить своего горя, а горя много прибавилось нового за это время. Срок возвращения князя Андрея и его женитьбы приближался, а его поручение приготовить к тому отца не только не было исполнено, но дело напротив казалось совсем испорчено, и напоминание о графине Ростовой выводило из себя старого князя, и так уже большую часть времени бывшего не в духе. Новое горе, прибавившееся в последнее время для княжны Марьи, были уроки, которые она давала шестилетнему племяннику. В своих отношениях с Николушкой она с ужасом узнавала в себе свойство раздражительности своего отца. Сколько раз она ни говорила себе, что не надо позволять себе горячиться уча племянника, почти всякий раз, как она садилась с указкой за французскую азбуку, ей так хотелось поскорее, полегче перелить из себя свое знание в ребенка, уже боявшегося, что вот вот тетя рассердится, что она при малейшем невнимании со стороны мальчика вздрагивала, торопилась, горячилась, возвышала голос, иногда дергала его за руку и ставила в угол. Поставив его в угол, она сама начинала плакать над своей злой, дурной натурой, и Николушка, подражая ей рыданьями, без позволенья выходил из угла, подходил к ней и отдергивал от лица ее мокрые руки, и утешал ее. Но более, более всего горя доставляла княжне раздражительность ее отца, всегда направленная против дочери и дошедшая в последнее время до жестокости. Ежели бы он заставлял ее все ночи класть поклоны, ежели бы он бил ее, заставлял таскать дрова и воду, – ей бы и в голову не пришло, что ее положение трудно; но этот любящий мучитель, самый жестокий от того, что он любил и за то мучил себя и ее, – умышленно умел не только оскорбить, унизить ее, но и доказать ей, что она всегда и во всем была виновата. В последнее время в нем появилась новая черта, более всего мучившая княжну Марью – это было его большее сближение с m lle Bourienne. Пришедшая ему, в первую минуту по получении известия о намерении своего сына, мысль шутка о том, что ежели Андрей женится, то и он сам женится на Bourienne, – видимо понравилась ему, и он с упорством последнее время (как казалось княжне Марье) только для того, чтобы ее оскорбить, выказывал особенную ласку к m lle Bоurienne и выказывал свое недовольство к дочери выказываньем любви к Bourienne.

Многообразие процедур, пригодных для принятия коллективных решений, побуждает задуматься, есть ли среди них такие, которые идеальным образом соответствовали бы достаточно полному набору естественных требований (аксиом). Знакомство с теоремой Мэя и парадоксом Кондорсе заставляет скептически относиться к такой возможности. Генерализованный ответ на обсуждаемый вопрос дает теорема о невозможности , доказанная Кеннетом Эрроу в 1951 г.

Теорема утверждает, что не существует правила коллективного выбора у удовлетворяющего одновременно следующим шести требованиям.

• 1. Полнота. Правило должно обеспечивать выбор между любыми двумя альтернативами, отдавая предпочтение одной из них либо признавая обе равноценными.
• 2. Универсальность. Правило обеспечивает результативный выбор при любом сочетании индивидуальных предпочтений.
• 3. Транзитивность. Для любого набора из трех альтернатив х, у и z, если xRy и yRz, то xRz.
• 4. Единогласие. Если xRy выполняется для любого i, т.е. все участники коллективного выбора отдают предпочтение первой из двух альтернатив, то xRy, иначе говоря, коллективный выбор совершается в пользу первой альтернативы (это не что иное, как выполнение требования Парето-эффективности).
• 5. Независимость от посторонних альтернатив. Коллективный выбор между любыми двумя альтернативами х и у зависит от того, как индивиды оценивают эти две альтернативы по отношению друг к другу, но не зависит от отношения индивидов к какой бы то ни было посторонней альтернативе z (например, будет ли признано xRy, может зависеть, в частности, от того, верно ли, что хR iу , но не от того, справедливо ли, что xRz или что xR izR iy).
• 6. Отсутствие "диктатора ". Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, любое предпочтение которого xR iy влекло бы за собой xRy независимо от предпочтений всех других индивидов.

Теорему можно сформулировать и иным образом, введя важное понятие рационального выбора. Выбор является рациональным, если он отвечает требованиям полноты и транзитивности. Рациональность индивидуального выбора – одна из ключевых аксиом микроэкономики.

Коллективный выбор не всегда рационален, как мы убедились, рассматривая парадокс голосования. Теорема Эрроу говорит о том, что не существует правила рационального коллективного выбора, которое было бы универсальным, отвечало бы принципу эффективности по Парето, было бы независимо от посторонних альтернатив и при этом предполагало бы подлинно коллективное решение, не сводящееся к фиксации предпочтений одного индивида.

Приступая к доказательству теоремы, прежде всего введем понятие решающей коалиции голосующих. Решающей коалицией является такая совокупность индивидов, входящих в общее число участников коллективного выбора, что при единогласии внутри этой коалиции позиция ее членов становится результатом коллективного выбора. Иными словами, если для всех членов решающей коалиции xR ty, то xRy. Коалиция может быть решающей только для конкретной пары альтернативных вариантов, тогда она называется решающей коалицией, например, для а против b. В то же время могут существовать коалиции, решающие для любой допустимой пары альтернатив; такие коалиции называют решающими без указания конкретной пары.

Докажем, что, если выполняются шесть перечисленных выше условий, то для произвольной пары альтернатив найдется решающая коалиция, состоящая из одного члена.

Выберем некоторую пару альтернатив х и у . Рассмотрим множество решающих для нее коалиций. Это множество не пусто, поскольку из аксиомы единогласия следует, что по крайней мере вся совокупность голосующих составляет решающую коалицию. Вместе с тем правило, удовлетворяющее шести аксиомам, не может быть правилом единогласного принятия решений, так как последнее не отвечает требованию универсальности. Всего лишь при двух участниках, если и (индексы обозначают номера голосующих), единогласное решение не может быть найдено. Следовательно, если существует правило, отвечающее всем шести требованиям, то найдется решающая коалиция для х против у с числом членов меньшим, чем общее число голосующих.

Выберем наименьшую по числу членов решающую коалицию для х против у и обозначим ее Т. Т включает хотя бы двух индивидов (в противном случае это решающая коалиция для х и у , состоящая только из одного члена). Разделим Т на две подгруппы. Пусть в первую из них (назовем ее D ) входит один голосующий, а во вторую (V) – остальные члены наименьшей решающей коалиции для х против у (их может быть один или больше). Совокупность голосующих, не относящихся к T , обозначим W. Поскольку речь не идет о правиле единогласного принятия решений, W не пусто.

Возьмем любую третью альтернативу z. В силу универсальности найдется такой профиль предпочтений, что:

где – нестрогие предпочтения всех членов подгрупп D, V и W.

Поскольку подгруппы D и V вместе составляют решающую коалицию для х против у, то из (4.1) и (4.2) следует xRy.

В то же время V не является решающей коалицией (иначе она была бы решающей в том числе для х и у). Поскольку х, у и z выбираются произвольно, то V, не будучи решающей коалицией, не окажется решающей и для всех возможных z против у. Следовательно, выбор V между z и у блокируется выбором D и W. Значит, из (4.1) и (4.3) вытекает, что невозможно zRy. Таким образом, получаем yRz.

В силу транзитивности: xRz. Однако согласно (4.2) и (4.3) из всех участников голосования только D может строго предпочитать альтернативу х альтернативе z. Получается, что выбор D, а это один человек, определяет общее решение, несмотря на противостояние всех остальных голосующих. Значит, по крайней мере в отношении альтернатив х и z (а они выбраны произвольно) существует "диктатор".

Докажем теперь, что коалиция D, состоящая из одного члена, является решающей для любой пары альтернатив а и b, если эта коалиция – решающая для некоторой пары x и z.

Теперь W будет обозначать совокупность всех участников коллективного выбора, кроме единственного голосующего D, который выступает в роли решающей коалиции для х против z.

Возьмем любую альтернативу а и рассмотрим ситуацию, когда:

Такие предпочтения найдутся в силу полноты и универсальности.

Поскольку D – решающая коалиция для х против z, то xRz. В силу аксиомы единогласия zRa. Поскольку предпочтения транзитивны, xRa.

Из аксиомы независимости от посторонних альтернатив следует, что, если исключить из (4.4) и (4.5) предпочтения, затрагивающие z, последний вывод не изменится. Таким образом, при и всегда имеет место xRa. Но это означает, что D – решающая коалиция для х против любого а.

Теперь возьмем произвольную альтернативу Ь. Рассмотрим ситуацию, когда:

По аналогии с предыдущим рассуждением, bRa, и, следовательно, D – решающая коалиция для b против а. Между тем в роли b и а могут выступать любые альтернативы. Итак, при рассмотрении всякой пары альтернатив исход коллективного выбора совпадает с выбором, который делает коалиция D, состоящая из одного члена. Теорема доказана.

Теорема о невозможности дает на первый взгляд неожиданный ответ на вопрос о перспективах демократического решения проблем, возникающих в обществе. В действительности этот ответ, с одной стороны, достаточно тесно связан с тем, что обсуждалось нами ранее, а с другой – вовсе не означает бесперспективности всякого демократического устройства политической жизни. Принципиальное значение теоремы Эрроу состоит как раз в том, что она обрисовывает ключевые предпосылки осуществимости (или неосуществимости) рационального демократического выбора.

Обратим внимание, что в числе аксиом, сформулированных в данном параграфе, находятся аксиомы полноты, единогласия и универсальности. Это значит, что условия теоремы допускают выбор между всевозможными Парето-эффективными состояниями при самых разных профилях предпочтений. Однако мы знаем, что такого рода выбор предполагает улучшение положения одних индивидов за счет других. Он влечет за собой непримиримые конфликты, и, как мы видели применительно к правилу простого большинства, провоцирует формирование неустойчивых коалиций. Теорема Эрроу говорит, в частности, о том, что в подобных ситуациях полностью гарантировать устойчивость (транзитивность) выбора удается лишь ценой отказа от его коллективного характера, иначе говоря, за счет появления "диктатора".

На деле ослабить значимость проблемы, о которой идет речь, помогают конституционные ограничения вариантов перераспределения. Это очевидным образом сокращает набор альтернатив, из которых может делаться коллективный выбор, т.е. означает отказ от требования полноты.

Успеху коллективного выбора способствует также формирование сообществ на базе предпочтений, разделяемых всеми членами. Таковы, например, клубы, политические партии и т.д. Применительно к ним незначима аксиома универсальности. Принятие устойчивых коллективных решений в сообществах, члены которых разделяют общие ценности, гораздо более достижимо, чем в произвольных группах индивидов.

Аксиома независимости от посторонних альтернатив тесно связана с отказом от учета интенсивности индивидуальных предпочтений. Уместность такого отказа может показаться весьма сомнительной, и, например, правило Борда отражает интенсивность, а применение этого правила не ведет к циклическому голосованию. Проблема, однако, в том, что одновременный учет интенсивности предпочтений многих индивидов предполагает сравнение и соизмерение присущих каждому из них "шкал" полезности. То же правило Борда, по существу, есть способ суммирования интенсивностей индивидуальных предпочтений.

Между тем межличностная сопоставимость шкал полезности представляет собой весьма сильное предположение. Во всяком случае, сопоставление немыслимо без некоторых допущений об относительной значимости благосостояния разных индивидов для общества. Эти допущения, в принципе, могут основываться на консенсусе, предпочтениях большинства и т.д. Однако в таком случае они сами есть продукты коллективного выбора, а мы обсуждаем здесь его исходные условия. Вместе с тем на практике демократии не обходятся без неких явно или неявно фиксируемых представлений о значимости позиций отдельных индивидов. Например, влияние интенсивности предпочтений по отношению к кандидатам на выборные посты неодинаково сказывается при наличии или отсутствии первичных внутрипартийных выборов (того, что в США называется праймериз). В конечном счете теорема Эрроу позволяет понять, почему при наличии разнонаправленных интересов никакой вариант демократического устройства не гарантирует достижения идеала в сфере общественного выбора. Однако отсутствие демократии означало бы отсутствие коллективного выбора, как такового. Вместе с тем, при полном совпадении интересов граждан государство с его принуждающей силой не требовалось бы. В последующих параграфах этой главы нам предстоит рассмотреть, как реальные интересы действующих индивидов детерминируют политические процессы в условиях демократии.

• Эрроу К. Д. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. M.: ИД ГУ ВШЭ, 2004.

Аннотация: В этой лекции мы будем рассматривать вопрос, который, на первый взгляд, даже не обязательно лежит в области экономики. Мы будем рассматривать голосования, возможные схемы голосований и то, к каким результатам они могут привести.

Голосования и наши главные цели

На самом деле, конечно, это частный, но вместе с тем одновременно и наиболее общий случай тех самых задач, которые мы решаем в этом курсе. Голосование - очень простой и естественный частный случай экономического механизма. У голосования есть множество возможных исходов, из которых участники должны выбрать; например, это кандидаты , и , из которых один должен стать президентом. У каждого участника голосования (агента) есть определенный порядок на этих исходах (нам будет достаточно случая, когда этот порядок линейный, то есть каждый исход сравним с каждым), который отражает его предпочтения. Например, кандидат мне нравится больше, чем , а - больше, чем ; мы это будем обозначать через . Этот порядок можно рассматривать как скрытую функцию предпочтений агента. И, наконец, есть некоторая функция социального выбора, которая определяет, какой кандидат должен бы победить при том или ином соотношении голосов.

Заметим, что этот частный случай вместе с тем оказывается и наиболее общим. Мы не предполагаем вообще никаких ограничений, никакой структуры на множестве предпочтений каждого из агентов; любой исход может оказаться на любом месте в его внутренней функции предпочтения. Поэтому результаты о невозможности, которые мы получим в этой лекции, окажутся весьма полезными в доказательстве результатов о невозможности в теории экономических механизмов, которыми мы будем заниматься в течение следующих трех лекций. Основным результатом станет теорема Эрроу, которая была доказана Кеннетом Эрроу в 1963 году .

Однако прежде всего нужно понять, что бы мы хотели получить от системы голосования. Каковы цели, которых мы будем (безуспешно) пытаться достигнуть?

Для этого рассмотрим достаточно простой и понятный случай голосования: случай, когда в нем участвует ровно один агент . Какими самыми базовыми, самыми естественными свойствами будет обладать множество предпочтений одного агента? Давайте сформулируем три основных свойства, три в высшей степени естественных предположения.

Наконец, четвертое свойство является по сути свойством функции социального выбора, а не свойством одного-единственного агента, как первые три. Мы его уже рассматривали в предыдущих лекциях.

Согласитесь, все эти свойства звучат абсолютно естественно, правда? Было бы очень странно, если бы система голосования не удовлетворяла этим свойствам. Один пример хорошей системы мы уже привели: система, в которой ровно один агент , удовлетворяет всем четырем свойствам.

Можно провести и менее тривиальный пример. Предположим, что возможных исходов всего два, то есть голосование превратилось в референдум. Тогда можно предложить простейшую систему голосования: выбирать нужную альтернативу большинством голосов. Рекомендуем читателю проверить, что выбор простым большинством из двух исходов удовлетворяет всем четырем интересующим нас свойствам.

Однако оказывается, что для трех и более возможных исходов голосования такую систему построить непросто. Подходящих механизмов голосования мало, и вряд ли существующие механизмы смогут удовлетворить поборников демократической процедуры, потому что непременно окажутся диктаторскими: результат голосования будет просто совпадать с предпочтениями какого-то одного его участника. Это и будет теорема Эрроу.

Но начнем мы с того, что продемонстрируем, почему естественные системы голосований оказываются беспомощными перед столь простыми условиями. Наше изложение будет в основном следовать .

Парадоксы голосований

В этом параграфе мы будем приводить примеры разного рода странных конструкций, которые, философски говоря, доказывают одну простую вещь: на свете не существует рационального "общего мнения группы людей". Есть мнение каждого конкретного человека. Но общее мнение, если пытаться его как-то более или менее "равномерно" вычислять из множества мнений членов интересующей нас группы, вообще никакими разумными свойствами обладать не будет. Формализуем мы это в теореме Эрроу, а в этом параграфе дадим важную интуицию.

Первый пример восходит аж к XVIII веку. В году маркиз де Кондорсе придумал конструкцию парадокса, который под его именем вошел в политическую и экономическую теорию. Идея парадокса Кондорсе проста: рассмотрим три возможных исхода , и и трех участников , и . Предположим, что их предпочтения распределены так:

Иначе говоря, предпочтения трех участников получаются циклическим сдвигом одного линейного порядка.

Что будет происходить при голосованиях? Если на выбор предложат и , то и проголосуют за , и будет избран : . Если референдум пройдет между и , то победа альтернативы будет обеспечена голосованием агентов и : . Но если предложат выбор между и , то и проголосуют за , и окажется, что ! В парадоксе Кондорсе нарушается транзитивность "мнения большинства".

Давайте посмотрим на это с точки зрения дизайна механизмов. Как построить механизм голосования, который примет верное решение? Да и что вообще такое в данном случае "верное решение"? Вполне естественным может показаться механизм, который последовательно осуществляет референдумы, голосования с двумя исходами, до тех пор, пока (в предположении транзитивности , разумеется) не получит достаточно информации для выбора оптимального исхода. На парадоксе Кондорсе такой алгоритм может работать бесконечно (или выдавать ошибку): сколько ни ходи по кругу, единого оптимального выбора не сделаешь.

Но этим дело не ограничивается. Здесь пока кажется, что вообще все равно, какой выбор делать: все три варианта абсолютно симметричны, так что какая разница функции социального выбора, какой из них предпочесть. Давайте рассмотрим небольшую модификацию парадокса Кондорсе, на которой результаты алгоритма попарного голосования окажутся еще интереснее. Для примера нам потребуются аж семь альтернатив, поэтому давайте назовем их как-нибудь поинтереснее, не просто буквами латинского алфавита.

Пример 6.1 . Семеро великих вождей собираются в поход на семивратные Фивы. Собираются в поход двое изгнанников - Тидей и Полиник, собирается царь Адраст, двое аргивских вождей - Капаней и Гиппомедонт, ясновидец Амфиарай и аркадец Парфенопей 2Мы бы с удовольствием рассказали эту историю поподробнее, но как-то совсем уж тут не место... в общем, рекомендуем прочесть "Семеро против Фив" Эсхила и "Финикиянок" Еврипида - или хотя бы краткое их содержание.

А в это время на Олимпе Гера, Афина и Артемида решают, кого из семи вождей сделать своим любимцем, кому больше других поспособствовать при осаде Фив. Предпочтения богинь весьма замысловаты. Вот они (в таблице сверху вниз степень предпочтения убывает).

В лучших традициях древнегреческой демократии богини согласились решить дело голосованием. Они начали устанавливать общий порядок поочередными голосованиями. И вот что у них получилось...

1. Тидей против Гиппомедонта: Гера в меньшинстве, Гиппомедонт идет дальше.
2. Гиппомедонт против Капанея: Гера и Афина проводят дальше Капанея.
3. Капаней против Полиника: Полиник побеждает и проходит в следующий бой.
4. Полиник против Парфенопея: несмотря на то, что Гере Парфенопей ну совсем не мил, он побеждает.
5. Парфенопей против Амфиарая: выигрывает Амфиарай.
6. Амфиарай против Адраста: Адраст побеждает, Афина в меньшинстве.

В результате не просто Афина оказалась в меньшинстве в последнем голосовании, а как будто мудрость в этом голосовании и вовсе не ночевала. Богини медленно, но верно спускались вниз по таблице, хотя на каждом шаге делали выбор большинством (можно сказать, конституционным большинством - две трети набиралось). В результате победил царь Адраст, хотя в изначальных предпочтениях и Тидей, и Полиник, и Капаней, и Гиппомедонт у всех трех богинь стояли выше Адраста.

Конец примера 6.1 .

Но и на этом интересные следствия парадокса Кондорсе не заканчиваются. Давайте подумаем: какие вообще были варианты у наших голосований? Предположим, что мы хотим пока ограничиться выбором между двумя альтернативами. Таким образом, голосование получается двухступенчатым: сначала две альтернативы сражаются друг с другом, потом победитель с третьей. Рассмотрим возможные варианты для классического парадокса Кондорсе (см. рис. 6.1).

Получается, что результат при одних и тех же предпочтениях кардинально зависит от формата голосования! А значит, тот, кто контролирует формат голосования (а в реальных ситуациях его обычно кто-то контролирует), имеет существенное преимущество и может победить, даже оказавшись в меньшинстве.

Более того, эта зависимость от формата приводит к тому, что попарная независимость предпочтений в этом случае тоже не выполняется. Давайте рассмотрим простую ситуацию, в которой есть ровно две альтернативы: и , причем большинство хочет выбрать . Тогда простым большинством, конечно, без проблем выберут. Но если у меньшинства получится построить такую третью возможность , что при выборах и , то это самое меньшинство сможет, установив правильный порядок выборов (сначала против , затем против победителя), провести , а не .

Пример 6.2 . В политике такие ситуации редко, но действительно возникают на практике. Они называются "поправки-убийцы" ( killer amendments ). Вот любопытный пример из практики .

В США сенаторов поначалу выбирали не прямым всенародным голосованием, а законодательными органами соответствующего штата. В том, чтобы ввести голосования на пост сенатора, заключалась 17-я поправка к Конституции США, которая в конце концов все же была принята в 1913. Но на пути к ее принятию был один любопытный случай.

Проблема заключалась в том, что в те годы в США Юг и Север все еще не слишком любили друг друга, и южные сенаторы беспокоились, что если федеральное ("северное") государство возьмет выборы сенаторов под свой контроль , то северяне-республиканцы сделают что-нибудь ужасное, например допустят на выборы чернокожих - и действительно, некоторые республиканцы так и собирались сделать.

Был достигнут компромисс : билль, который вводил прямые выборы сенаторов, но содержал поправки, ограничивающие контроль федерального правительства над выборами в южных штатах. Его поддерживало большинство (это была возможность ), и на прямом голосовании между этим биллем и тем, чтобы вообще не вводить прямые выборы (возможность ), билль бы прошел.

Однако сенатор Сазерленд, лидер меньшинства, которое было против выборов сенаторов как таковых, сумел придумать поправку-убийцу . Таковой стало предложение о прямых выборах сенаторов без каких-либо поправок про южные штаты. Сазерленд устроил дело так, что сначала голосование шло между и . Меньшинство Сазерленда проголосовало за , северяне-республиканцы тоже проголосовали за , и победило . Но на этом дело не закончилось: затем встал выбор между и . Сазерленд внезапно "изменил свою точку зрения" и стал голосовать не за , а за , то есть против выборов совсем. В результате билль сначала выполнил свою функцию и выбил поддерживаемый большинством билль , а затем не прошел на следующих выборах. Получилась ситуация, изображенная на рис. 6.2 сплошными линиями, вместо ситуации, изображенной там же пунктиром.

Стремление экономистов определить оптимум благосостояния без определения индивидуальных выгод имеет давнюю историю. Теоретики не могли четко разграничить понятия «эффективность» и «справедливость». Это сделал итальянский ученый В. Парето, определив понятие общественного благосостояния. Его концепция оптимального размещения ресурсов основывается на трех допущениях, которые относятся к оценке суждений:
1) каждая личность лучше всего оценивает свое благосостояние;
2) общественное благосостояние определяется благосостоянием отдельных, независимых друг от друга индивидов;
3) благосостояние отдельных личностей нельзя уравнять.
Однако ученый считал, что выводы об экономической политике можно делать только на основе размышлений об эффективности.
В начале 30-х годов ХХ в. американский экономист Абрам Бергсон вывел дискуссию из тупика, предложив оценивать благосостояние с помощью функции общественного благосостояния - множества общественных кривых безразличия, которые ранжируют разные комбинации индивидуальных выгод соответственно системе оценочных суждений о распределении дохода. Однако он не пояснил, кому должны принадлежать такие суждения и как следует учитывать разницу в них. Поэтому концепция общественного благосостояния А. Бергсона несколько оторвана от действительности.
Попытка определить функцию социального благосостояния, учитывая ограничения, отражающие основные этические аксиомы (ценностные установки участников демократического процесса), привела Эрроу к формулировке теоремы невозможности (невозможности демократии).
Автор доказывает, что общество не может найти процедуры принятия непротиворечивых, согласованных решений, если эти решения не отданы на суд одной личности. Это положение иллюстрируется парадоксом голосования - противоречием, которое возникает вследствие того, что голосование на основе принципа большинства не обеспечивает выявление преимуществ общества относительно экономических благ.
К.-Дж. Эрроу сформулировал аксиоматические правила рационального поведения и явно показал, что ни один процесс принятия коллективного решения не отвечает определенным нормам. Согласно теории невозможности Эрроу, не существует демократической социальной функции благосостояния, которая осуществляет связь между индивидуальными преимуществами и общественным выбором - процессом, с помощью которого индивидуальное видение трансформируется в коллективное решение и одновременно отвечает таким требованиям:
1) принцип Парето-оптимальности. Решение не может быть принято, если при этом существует и может быть реализована альтернатива, улучшающая жизнь другим индивидам и никому не ухудшает;
2) переходность. Если социальный выбор А имеет преимущество перед альтернативой Б, а выбор Б - перед альтернативой В, то А лучше, чем В;
3) независимость посторонних альтернатив. Человек выстраивает преимущества независимо от действий, которые на данный момент он не может осуществить;
4) отсутствие диктатора. Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, каждое преимущество которого всегда превышает преимущества всех других членов и становится обязательным элементом социального порядка.
К.-Дж. Эрроу доказал, что четыре условия находятся в противоречии. Итак, ни одна социальная схема благосостояния не может отвечать всем требованиям одновременно.
Отмеченные требования являются важной предпосылкой рациональности индивидуального выбора. Но универсального правила рационального коллективного выбора, которое бы отвечало всем требованиям, нет. Анализ правила большинства доказал, что возможна ситуация зацикливания (то есть при определенной структуре индивидуальных преимуществ голосование может продолжаться бесконечно, не приводя к принятию однозначного решения) при последовательном осуществлении выбора тремя лицами, потому что при увеличении числа критериев упорядочивания растет вероятность того, что результаты окажутся зацикленными.
Но аксиома транзитивности предусматривает выбор только одного из трех вариантов. Чтобы процесс общественного выбора не зашел в тупик, нужно найти приемлемую альтернативу. Однако при отмеченных условиях для произвольной пары альтернатив невозможно подобрать такую коалицию, которая складывалась бы более чем из одного индивида. Это означает, что метод осуществления такого выбора будет диктаторским.
Единое правило построения коллективных решений, отвечающее четырем условиям К.-Дж. Эрроу, является диктаторским (коллективное решение всегда должно совпадать с мнением одного из избирателей). Чтобы избежать этого, необходимо смягчение предпосылок. Несмотря на то, что данные постулаты более четкие, чем может показаться на первый взгляд, они все же слабее, чем это необходимо для удовлетворения разумного критерия распределительной справедливости. Поэтому необходимо смягчение аксиом одинаковости или отказ от одной из них. Но такой отказ означает утрату идеалов индивидуализма и гражданского суверенитета.
Поскольку общественный выбор - это совокупность альтернатив, то К.-Дж. Эрроу вводит аксиому транзитивности. Но на практике достижение цели не требует полного внедрения аксиомы транзитивности. Поэтому А.-К. Сен доказал теорему возможности, заменив транзитивность квазитранзитивностью, или транзитивностью четких преимуществ
(он утверждал, что личная свобода должна иметь приоритет над правилом Парето). Квазитразитивность открывает возможность для навязывания обществу власти олигархии (если существуют одинаковые для всех членов олигархической группы преимущества). Преодоление зацикливания заключается в том, что каждый член олигархической группы фактически владеет правом вето. Это означает также, что переход от транзитивности к квазитранзитивности не устраняет диктаторскую власть вообще, а распространяет ее на олигархическую группу.
Требование неограниченного охвата (полноты и универсальности) подобна постулату свободы выбора: каждый индивид волен выбирать, что захочет, то есть сам определяет собственный порядок преимуществ. И хотя многие выступают за свободу выбора, однако следствием такого выбора может быть или конфликт, или зацикливание. Поэтому этот постулат также способствует демократичности принятия решений.
Несколько «ослабил» теорему невозможности В.-С. Викри. Он добавил к условиям К.-Дж. Эрроу пятое условие - ранжирование (берется не весь континуум от первой до наивысшей точки, а определенный промежуток между ними). С помощью ранжирования он получил возможность путем ограничения индивидуального выбора доказать теорему невозможности.
Существует два способа ее доказательства: ограничение всего множества возможных вариантов (например, конституция защищает права собственности) или ограничение состава сотоварищества теми членами общества, чьи преимущества дают возможность осуществить коллективный выбор (например, делегирование полномочий избирателей членам парламента). Это означает, что при представительской демократии к принятию политических решений допускаются лица с более-менее однородными преимуществами. Это резко снижает вероятность зацикливания (чем однороднее преимущества избирателей, тем менее вероятна возможность возникновения цикла).
Теория клубов. Эта теория является частью теории смешанных благ. Клубное благо - это благо, при потреблении которого имеет место исключение, то есть возможность препятствовать его потреблению некоторой группе людей в отличие от общественного блага. Но оно является неконкурентным, т.к. потребление блага одним лицом не снижает потребления того же блага другими лицами и особенности формирования политических партий называют условия, при которых возможно создание однородного сообщества. Принятие прогнозируемых коллективных решений является более вероятным в сообществах, где исповедуют общие ценности, чем в произвольных группах индивидов.
Если отказаться от постулата о независимости альтернатив, то можно получить большое число процедур принятия решений:
а) простое большинство, при котором для принятия решения необходимо 50 процентов голосов участников плюс один голос;
б) относительным большинством голосов считается количество голосов, больше хотя бы на один голос;
в) квалифицированное большинство должно составлять две трети, три четверти или еще больше от всего состава тех, кто принимает решение;
г) постановляющее голосование.
Если число вариантов равно двум (избрание-неизбрание, принятие-непринятие) и число избирателей непарное, то единым правилом, отвечающим всем пяти условиям, является правило простого большинства.
Итак, теорема невозможности доказывает, что нет такого демократического процесса принятия решений, который бы одновременно отвечал всем пяти сформулированным аксиомам. Поэтому выработать только одно правило голосования невозможно. Решение этой проблемы возможно в случае отказа от аксиомы транзитивности или смягчения постулатов независимости, полноты и универсальности.
На основе сформулированных этических норм, а также аксиом, определяющих коллективный выбор, К.-Дж. Эрроу предложил концепцию демократического выбора, направленную на защиту свободной рыночной конкуренции, которая должна поддерживаться государством. Государство, формируя экономическую стратегию, должна учесть интересы всех граждан.
Работы К.-Дж. Эрроу оказались весомым вкладом в теорию оптимальных запасов, анализ стабильности рыночных моделей, математическое программирование и теорию статистических решений. Распространено мнение, что смысл и значение теоремы невозможности Эрроу, а также теории социального выбора до сих пор не осознаны всецело и теория «опережает» их внедрение. Но все-таки предпринимаются попытки использования теории социального выбора в двух сферах. Одна из них - разработка избирательных систем. Компьютеры способны преодолеть существующие барьеры создания оптимальной избирательной системы. Другая сфера - теория демократии, где теория социального выбора способствует переоценке классических утверждений. Используют теорию социального выбора в политической сфере, при анализе рынка труда и торговой политики.
Роль взглядов К.-Дж. Эрроу в современной теории благосостояния существенна:
1. Ученый стремился ликвидировать одно из наиболее очевидных противоречий маржинализма - между постулатом об индивидуальном поведении и математическом моделировании, которое является частью метода. С одной стороны, все западные экономисты - от Маршалла до Самуэльсона - осуществляют математические операции по индивидуальным функциям полезности. С другой - они опираются на аксиому, что человек субъективен в оценке своего благосостояния и выбирает комбинацию определяющих его факторов, которая, по его мнению, обеспечивает максимум полезности. Особенности объекта анализа (индивидуального экономического поведения) делают бессмысленным или одно, или другое.
По мнению К.-Дж. Эрроу, для обновления внутренней логики теории благосостояния необходимо или создать математические модели индивидуального поведения без посылок на субъективные оценки, или вообще отказаться от математических преобразований.
2. К.-Дж. Эрроу пересмотрел позицию экономистов австрийской школы о принципах рационального поведения. Их критерий, который сводится к оптимизации индивидуального благосостояния, отвечал только индивидуальной функции полезности, но оказался недостаточным для индивидуальной функции преимуществ социальных состояний.
Своей теоремой невозможности К.-Дж. Эрроу доказал, что нет общего правила классификации ситуаций на уровне общества, которое не было бы объединено с определенной обоснованной системой индивидуалистских этических ограничений общественной функции благосостояния. Ученый акцентировал, что ограничения порождают противоречия. Он обосновал невозможность формулирования правила, которое было бы приемлемым для всех случаев, и при этом допускалась бы возможность существования какого-либо нормативного положения для подгруппы эмпирически подобранных случаев.

Теорема Эрроу также известна как «Парадокс Эрроу» (англ. Arrow"s paradox) -- теорема о невозможности «коллективного выбора». Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Рассмотрим различные формулировки теории:

Формулировка 1951 года

Пусть есть N?2 избирателей, голосующих за n?3 кандидатов. У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов -- функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список. Система выборов может обладать такими свойствами:

Монотонность - если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора - нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Независимость от посторонних альтернатив - если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы: универсальность, отсутствие диктатора, независимость от посторонних альтернатив, принцип единогласия - если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Теорема имеет доказательство. Введем следующие обозначения:

I - предпочтения i-го агента; [?"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: Ln > L - функция общественного благосостояния; ?W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето-эффективность - W парето-эффективна, если для любых исходов o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Независимость от посторонних альтернатив - W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ? O и для любых двух профилей предпочтений [?"] и [?"] ? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Отсутствие диктатора - Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что? o1, o2 ? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)

Теорема Эрроу. Если |O| ? 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора. Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение. Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в?W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [?] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений?i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ? O, что a ?W b и b ?W c. Изменим тогда профиль [?] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ?i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [?"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ?W b и b ?W c. Следовательно, в силу транзитивности?W получаем a ?W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ?i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ?W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение. Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке?W в самую верхнюю позицию в этом списке. Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений?i. Ясно, что и в?W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n (диктатор над всеми парами , не включающими в себя b) - агент, который переставив таким образом b, изменил?W. Обозначим [?1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [?2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [?2] исход b изменил свою позицию в?W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции?i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в?W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение. Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [?2] построим [?3] следующим образом: в?n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [?1] получим, что a ?W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [?2] получим, что b ?W c. Тогда a ?W c. Теперь построим профиль предпочтений [?4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений?i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ?W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ?W c получился исходя только лишь из предположения, что a ?n* c. n* - диктатор над всеми парами .

Этап 4. Утверждение. Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в?W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.