Теоремы чевы и менелая. Теорема менелая Теорема менелая в комплексных числах

А.В. Шевкин

ФМШ № 2007

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья "Вокруг теорем Чевы и Менелая" опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Теорема Чевы

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB , BC и AC отмечены точки C 1 , A 1 и B 1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке, то

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А 1 , B 1 или С 1 принадлежит стороне треугольника, а две другие - продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА 1 , BB 1 и CС 1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC , начиная с точки A . От точки A идем к точке B , встречаем точку С 1 , записываем дробь
. Далее от точки В идем к точке С , встречаем точку А 1 , записываем дробь
. Наконец, от точки С идем к точке А , встречаем точку В 1 , записываем дробь
. В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой .

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы A A 1 , B B 1 и C C 1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC .

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС 1 . Прямая АА 1 пересекает построенную прямую в точке М , а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА 1 , - в точке Т . Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ 1 . Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

,
и
.

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM , СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,
и верно равенство

.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении:
.

Доказательство. Из равенства
следуют равенства
и
. Последнее из них выполняется лишь при условии, что С 1 B и С 2 B равны, т. е. при условии, что точки С 1 и С 2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Z , проведем через эту точку отрезок CС 2 (С 2 лежит на отрезке AB ). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что
, т. е. точки С 1 и С 2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С 1 и С 2 совпадают. Это означает, что отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка А N на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Ответ. 8.

Задание 2. Чевианы AM , BN , CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC . Найдите отношение
, если
,
. Рис. 4

Ответ.
.

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи . Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые A A 1 , B B 1 , C C 1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми A A 1 , B B 1 обозначим соответственно A 2 , B 2 .

Из подобия двух пар треугольников CB 2 B 1 и ABB 1 , BAA 1 и CA 2 A 1 , Рис. 5

имеем равенства

,
. (3)

Из подобия треугольников BС 1 O и B 2 CO , A С 1 O и A 2 CO имеем равенства
, из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге А.Г. Мякишева и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4 .

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если
, то
и
. Рис. 6

Пусть отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

,
. (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что
или
. Аналогично получим, что
и
. Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Ответ. 15.

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника А NO равна 10 и
,
(рис. 9).

Ответ. 30.

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника А BC равна 88 и ,
(рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим
,
. Так как , то обозначим
,
. Из теоремы Чевы следует, что
, и тогда
. Если
, то
(рис. 10). У нас три неизвестные величины (x , y и S ), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как
, то
= 88. Так как
, то
, откуда
. Так как
, то
.

Итак,
, откуда
. Рис. 10

Задание 9 . В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и B C .
,
. P AL и CK . Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC .

Ответ. 1,75.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B 1 и A 1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C 1 (рис. 11).

а) Если точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC - от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l , параллельную прямой А 1 B 1 , она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Р
ис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и
.

Тогда верны равенства
.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А 1 B 1 пересекаются в точке С 2 (рис. 13).

Так как точки А 1 B 1 и С 2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем
, откуда следует, что верны равенства

,
,
.

Последнее равенство верно лишь при условии
, т. е. если точки С 1 и С 2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Из точек A , B и C проведем перпендикуляры АА 0 , B B 0 и СС 0 к этой прямой (рис. 14).

Р
ис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA 0 B 1 и CC 0 B 1 , CC 0 A 1 и BB 0 A 1 , C 1 B 0 B и C 1 A 0 A (по двум углам) имеем верные равенства

,
,
,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C 1 . Обозначим площади треугольников S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

,
,
. (8)

Перемножив равенства (8), получим:

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Р
ис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB , BC и AC в точках C 1 , A 1 и B 1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А 1 , В 1 лежат соответственно на сторонах ВС и A С . P - точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 .
,
. Найдите отношение
.

Решение. Обозначим
,
,
,
(рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BC В 1 и секущей PA 1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС , площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К , делящая эту сторону в отношении
, а на стороне АС - точка L , делящая АС в отношении
. Точка P пересечения прямых СК и В L удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ . Обозначим
,
,
,
(рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство:
, откуда получим, что
,
. Рис. 18

Из подобия треугольников К MC и К RP (по двум углам) получим, что
, откуда следует, что
.

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС , и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны:
.

Ответ. 4.

Задание 13. Три окружности с центрами А , В , С , радиусы которых относятся как
, касаются друг друга внешним образом в точках X , Y , Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O . В каком отношении, считая от точки B , отрезок CZ делит отрезок BY ?

Решение. Обозначим
,
,
(рис. 19). Так как
, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки А X , BY и С Z пересекаются в одной точке - точке O . Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении
. Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем:
, откуда следует, что
.

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В 1 и С АС и АВ треугольника ABC , причём АВ 1:B 1 С =
= АС 1:С 1 B . Прямые ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:4.

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A 1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ 1:B 1 С = АС 1:С 1 B , то из равенства (9) следует, что
, то есть CA 1 = А 1 B , что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB 1 O равна S . Так как АВ 1:B 1 С CB 1 O равна 4S , а площадь треугольника AOC равна 5S . Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S , так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO , а их вершины B и C равноудалены от прямой AO . Причём площадь треугольника AOC 1 равна S , так как АС 1:С 1 B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB 1 равна 6S . Так как АВ 1:B 1 С = 1:4, то площадь треугольника CB 1 O равна 24S , а площадь треугольника ABC равна 30S . Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 (2S ) к площади треугольника ABC (30S ), оно равно 1:15.

Ответ. 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В 1 и С 1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC , причём АВ 1:B 1 С =
= АС 1:С 1 B . Прямые ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:3.

Ответ. 1:10.

Задание 1 6 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С . Биссектриса BL ABC с основанием ВС BLD с основанием BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos
ABC DL , то есть треугольник BD взята точка С . Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ ?

Ответ. 4:21.

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечательные точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. (Серия «Библиотека "Математическое просвещение"»). М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Вита-Пресс, 2005. - 208 с.

4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. - 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волкевич, И.Р. Высоцкий и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство "Экзамен", 2016. - 247 с.

Математика - 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естественных наук, математики и информационных технологий ДВГГУ ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: - один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник - окружность; треугольник - секущая прямая; треугольник - три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.), - а второй - метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи). Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема наблюдающуюся (вместе для с обратной) отношений показывает отрезков, закономерность, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника. На чертежах приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором - продолжения всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелая) Пусть ABC пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В1 и А1, а прямую АВ в точке С1 тогда AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А1, В1, С1 принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A , то точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок - перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице. Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1В1 пересечет сторону АВ в точке С2, отличной от точки С1. При этом, в силу теоремы 1, для точек А1, В1, С2 будет выполняться то же отношение, что и для точек А1, В1, С1. Из этого следует, что точки С1 и С2 поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут - получили противоречие. Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая. Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Решение. Запишем полученное в теореме соотношение, Менелая для треугольника ABMb и прямой McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья второе отношение равно 1 . Поэтому 2 2:1, что и требовалось доказать. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1 так, что точка C является серединой отрезка AB1. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье 1 , 2 таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1. Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника могут быть получены при помощи следующей процедуры. Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A1, на стороне BC (или её продолжении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке). Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева. Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке. Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения - внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи). Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, такие, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в некоторой общей точке, тогда BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Доказательство: известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB1 и секущей CC1 (точку пересечения чевиан обозначим Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA а второй раз для треугольника B1BC и секущей AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы. Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A1, В1 и C1 выполняется условие Чевы: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая. Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим соотношение AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке. Задачи для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл., математический) 2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон (домашний или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин) 4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач. М 9.1.1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. М 9.1.2. Могут ли внутренние чевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке. Указание: придумывая примеры не забудьте проверить неваенство треугольника. М 9.1.3. Используя обратную теорему Чевы докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Указания: а) вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) используйте свойство, что отрезки двух касательных, проведенные из одной точки к некоторой окружности, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи. М 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на описанной вокруг треугольника ABC окружности, на стороны или продолжения сторон треугольника опущены перпендикуляры, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Указание: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длины отрезков, используемых в отношениях, через длины перпендикуляров, проведенных их точки M. Также полезно вспомнить свойства углов вписанного четырехугольника.

Решение самой задачи несложное – ознакомиться с ним можно ниже. В настоящей же статье нас интересует главным образом немножко другой момент, который зачастую опускается, понимается, как сам собой разумеющийся, как очевидный. Но очевидное - это то, что можно доказать. А доказать это можно различными способами, - обычно доказывают исключительно с помощью подобия, - но можно и с помощью теоремы Менелая.
Из условия следует, что, так как углы при нижнем основании трапеции в сумме составляют 90°, то если продлить боковые стороны, получится прямоугольный треугольник. Далее из получившейся точки пересечения продолжений боковых сторон проводят отрезок, который проходит через середины оснований. А почему этот отрезок проходит через все эти три точки? Обычно об этом в решениях задачи, встречающихся в Интернете, не говорится ни слова. Отсутствует даже отсылка к теореме о четырёх точках трапеции, не говоря уже о доказательстве этого утверждения. А между тем, оно может быть доказано с помощью теоремы Менелая, которая представляет собой условие принадлежности трёх точек к одной прямой.

Формулировки теоремы Менелая
Настало время сформулировать теорему. Надо отметить, что в различных учебниках и пособиях встречаются довольно-таки разные её формулировки, хотя суть остаётся неизменной. В учебнике Атанасяна и др. за 10-11 классы приводится такая формулировка теоремы Менелая, назовём её "векторной":

В учебнике «Геометрия 10-11 класс» Александрова и др., а также в учебном пособии этих же авторов «Геометрия. 8 класс» приводится несколько иная формулировка теоремы Менелая, причём и для 10-11 классов и для 8 класса она одинаковая:
Здесь необходимо сделать три примечания.
Примечание 1. На экзаменах не бывает задач, которые необходимо решить только с помощью векторов, для которых и используется именно «минус единица». Поэтому для практического использования наиболее удобна формулировка, представляющая, по сути, следствие из теоремы для отрезков (это вторая формулировка, выделенная жирными буквами). Ею и ограничимся для дальнейшего изучения теоремы Менелая, поскольку наша цель научиться применять её для решения задач.
Примечание 2. Несмотря на то, что во всех учебниках чётко оговаривается и тот случай, когда все три точки A 1 , B 1 и C 1 могут лежать на продолжениях сторон треугольника (или на прямых, содержащих стороны треугольника), на нескольких репетиторских сайтах Интернета формулируется только тот случай, когда две точки лежат на двух сторонах, а третья - на продолжении третьей стороны. Вряд ли это можно оправдать тем, что на экзаменах встречаются только задачи первого типа и не могут встретиться задачи, когда все эти точки лежат на продолжениях трёх сторон.
Примечание 3. Обратная теорема, т.е. условие для того, чтобы три точки лежали на одной прямой, обычно не рассматривается вовсе, а некоторые репетиторы даже советуют (???) заниматься только прямой теоремой, и не рассматривать обратную теорему. Между тем доказательство обратного утверждения достаточно поучительно и позволяет доказывать утверждения, похожие на то, что приведено в решении задачи 1. Опыт доказательства обратной теоремы, несомненно, даст ощутимую пользу ученику при решении задач.

Рисунки и закономерности

Для того, чтобы научить ученика видеть теорему Менелая в задачах и пользоваться ею при решениях важно обратить внимание на рисунки и закономерности в записи теоремы для конкретного случая. А поскольку сама теорема в "чистом" виде, т.е. без окружения другими отрезками, сторонами различных фигур в задачах обычно не встречается, то целесообразнее показывать теорему на конкретных задачах. А если и показывать рисунки в качестве объяснения, то делать их многовариантными. При этом выделять одним цветом (например, красным) прямую, которая образовывается тремя точками, а синим - отрезки треугольника, участвующие в записи теоремы Менелая. При этом те элементы, которые не участвуют, остаются чёрными:

На первый взгялд может показаться, что формулировка теоремы достаточно сложная и не всегда понятная; ведь в ней участвуют три дроби. Действительно, если опыта у ученика недостаточно, то он легко может ошибиться в написании, и как следствие, неправильно решить задачу. И вот тут, бывает, начинаются проблемы. Дело в том, что в учебниках обычно не акцентируется внимание на том, как «совершать обход» при написании теоремы. Ничего не говорится и о закономерностях записи самой теоремы. Поэтому некоторые репетиторы даже рисуют различные стрелки, в каком порядке записывать формулу. И предлагают ученикам строго следовать таким установкам. Отчасти это правильно, но куда важнее понять суть теоремы, чем чисто механически ее записывать, пользуясь «правилом обхода» и стрелками.
На самом деле, важно понять всего лишь логику "обхода", а она настолько точная, что ошибиться в написании формулы невозможно. В обоих случаях a) и b) напишем формулу для треугольника AMC.
Для начала определяем для себя три точки - вершины треугольника. У нас это точки A, M, C. Затем определяем точки, лежащие на пересекающей прямой (красной прямой), это - B, P, K. Начинаем "движение" с вершины треугольника, например, из точки C. Из этой точки "идём" к точке, которая образуется пересечением, например, стороны AC и пересекающей прямой - у нас это точка K. Пишем в числитель первой дроби - СК. Дальше из точки K "идем" в оставшуюся точку на прямой AC - в точку A. В знаменатель первой дроби пишем - KA. Так как точка A принадлежит ещё и прямой AM, то проделываем то же самое с отрезками на прямой AM. И тут опять, начинаем с вершины, далее "идём" в точку на пересекающей прямой, после чего переходим в вершину M. "Очутившись" на прямой BC проделываем то же самое и с отрезками на этой прямой. Из M "идём" конечно же в B, после чего возвращаемся в C. Этот "обход" можно совершать как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Важно только понять правило обхода - из вершины к точке на прямой, и от точки на прямой - к другой вершине. Примерно так обычно и объясняют правило записи произведения дробей. В итоге получается:
Обратим внимание на то, что весь "обход" отражён в записи и для удобства показан стрелками.
Однако получившуюся запись можно получить не выполняя никакого "обхода". После того, как выписаны точки - вершины треугольника (A, M, C ) и точки - лежащие на пересекающей прямой (B, P, K ), записывают ещё и тройки букв, обозначающих точки, лежащие на каждой из трёх прямых. В наших случаях, это I) B , M , C ; II) A , P , M и III) A , C , K . После этого верную левую часть формулы можно написать даже не глядя на чертёж и в любом порядке. Нам достаточно из каждой тройки букв написать верные дроби, которые подчиняются правилу - условно "средние" буквы - это точки пересекающей прямой (красные). Условно "крайние" буквы - это точки вершин треугольника (синие). При написании формулы таким способом надо следить только за тем, чтобы любая "синяя" буква (вершина треугольника) попала бы по разу и в числитель и в знаменатель Например.
Этот метод бывает особенно полезен для случаев типа b), а также для самопроверки.

Теорема Менелая. Доказательства
Существует несколько различных способов доказательства теоремы Менелая. Иногда доказывают с помощью подобия треугольников, для чего из точки M (как на данном чертеже) проводят отрезок, параллельный AC. Другие проводят дополнительную прямую, не параллельную пересекающей прямой, а потом прямыми, параллельными пересекающей словно "проецируют" все нужные отрезки на эту прямую и с помощью обобщения теоремы Фалеса (т.е. теоремы о пропорциональных отрезках) выводят формулу. Однако, пожалуй, наиболее простой способ доказательства получается, если из точки M провести прямую, параллельную пересекающей. Докажем теорему Менелая этим способом.
Дано: Треугольник ABC. Прямая PK пересекает стороны треугольника и продолжение стороны MC в точке B.
Доказать, что выполняется равенство:
Доказательство. Проведём луч MM 1 , параллельно BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки, которые входят в запись формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае, пересекающиеся в точке C. Перемножим левые и правые части этих уравнений:

Теорема доказана.
Аналогично доказывается теорема и для случая b}.

Из точки C проведём отрезок CC 1 , параллельный прямой BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки, которые входят в запись формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае, пересекающиеся в точке M. Так как в теореме Фалеса ничего не говорится о расположении отрезков на двух пересекающихся прямых, то отрезки могут располагаться и по разные стороны от точки M. Поэтому

Теорема доказана.

Теперь докажем обратную теорему.
Дано:
Доказать, что точки B, P, К лежат на одной прямой.
Доказательство. Пусть прямая BP пересекает AC в некоторой точке K 2 , не совпадаюшей с точкой K. Так как BP - это прямая, содержащая точку K 2 , то для неё справедлива только что доказанная теорема Менелая. Значит, для нее запишем
Однако только что мы доказали, что
Отсюда следует, что Точки K и K 2 совпадают, так как делят сторону AC в одном и том же отношении.
Для случая b) теорема доказывается аналогично.

Решение задач с помощью теоремы Менелая

Для начала вернёмся к Задаче 1 и решим её. Прочитаем ещё раз . Сделаем чертёж:

Дана трапеция ABCD. ST - средняя линия трапеции, т.е. одно из данных расстояний. Углы A и D в сумме составляют 90°. Продлеваем боковые стороны AB и CD и на их пересечении получаем точку K. Соединим точку K с точкой N - серединой BC. Теперь докажем, что точка P, являющаяся серединой основания AD также принадлежит прямой KN. Рассмотрим последовательно треугольники ABD и ACD. Две стороны каждого треугольника пересекает прямая KP. Предположим, прямая KN пересекает основание AD в некоторой точке X. По теореме Менелая:
Так как треугольник AKD прямоугольный, то точка P, являющаяся серединой гипотенузы AD, равноудалена от A, D и K Аналогично точка N равноудалена от точек B, C и K. Откуда одно основание равно 36, а другое равно 2.
Решение. Рассмотрим треугольник BCD. Его пересекает луч AX, где X - точка пересечения этого луча с продолжением стороны BC. По теореме Менелая:
Подставив (1) во (2) получаем:

Решение. Обозначим буквами S 1 , S 2 , S 3 и S 4 площади соответственно треугольников AOB, AOM, BOK и четырёхугольника MOKC.

Так как BM - медиана, то S ABM = S BMC .
Значит, S 1 + S 2 = S 3 + S 4 .
Так как надо найти отношение площадей S 1 и S 4 , поделим обе части уравнения на S 4:
Подставим эти значения в формулу (1): Из треугольника BMC при секущей AK по теореме Менелая имеем: Из треугольника AKC при секущей BM по теореме Менелая имеем: Все нужные отношения выражены через k и теперь можно подставить их в выражение (2):
Решение этой задачи с помощью теоремы Менелая рассмотрено на странице .

Примечание репетитора по математике. Применение теоремы Менелая в этой задаче - это тот самый случай, когда этот метод позволяет существенно сэкономить время на экзамене. Эта задача предлагается в демоварианте вступительного экзамена в лицей при ВШЭ в 9-й класс (2019 г.).

© Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589.

Решите самостоятельно

1) Задача попроще. На медиане BD треугольника ABC отмечена точка M так, что BM: MD = m: n. Прямая AM пересекает сторону BC в точке K.
Найдите отношение BK: KC.
2) Задача посложнеее. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке P, а диагональ BD - в точке T. Известно, что AB: AD = k (0 3) Задача № 26 ОГЭ. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
Подсказка репетитора по математике. В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.

Класс: 9

Цели урока:

1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.

Задачи урока:

• Образовательная: повторить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
• Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
• Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (10 мин.)

Учитель: На уроке вспомним теоремы Менелая и Чевы для того, чтобы успешно перейти к решению задач. Давайте вместе с вами посмотрим на экран, где представлен. Для какой теоремы дан этот рисунок? (теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.

Рисунок 1

Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника АВС, точка C 1 – на стороне AB, точка B 1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.

Рисунок 2

Прямая AD пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВМС.

По теореме Менелая

Прямая МВ пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС.

По теореме Менелая

Учитель: Какой теореме соответствует рисунок? (теорема Чевы). Сформулируйте теорему.

Рисунок 3

Пусть в треугольнике АВС точка A 1 лежит на стороне ВС, точка B 1 – на стороне АС, точка C 1 – на стороне АВ. Отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство

III этап. Решение задач. (22 мин.)

Класс разбивается на 3 команды, каждая получает карточку с двумя различными задачами. Дается время на решение, затем на экране появляются <Рисунки 4-9>. По готовым чертежам к задачам представители команд поочередно объясняют свое решение. После каждого объяснения следует обсуждение, ответы на вопросы и проверка правильности решения на экране. В обсуждении принимают участие все члены команд. Чем активнее команда, тем выше она оценивается при подведении итогов.

Карточка 1.

1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение

2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 4

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. ПустьMA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MNпересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 5

Пусть AM 1 , BM 2 , СM 3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1 , BM 2 и СM 3 пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Карточка 2.

1. На стороне PQтреугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 6

По условию NQ = LR, ПустьNA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 7

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Карточка 3.

1. В треугольнике АВС AD – медиана, точка O – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

2. Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Решение 1

Рисунок 8

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Доказательство 2

Рисунок 9

Пусть A 1 , B 1 и C 1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

IV этап. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)

Учитель: Работа команд закончена и сейчас приступим к самостоятельной работе по индивидуальным карточкам для 2-х вариантов.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

Вариант 1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)

Вариант 2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)

Работы сдаются учителю для проверки.

V этап. Итог урока (2 мин.)

Анализируются допущенные ошибки, отмечаются оригинальные ответы и замечания. Подводятся итоги работы каждой команды и выставляются оценки.

VI этап. Домашнее задание (1 мин.)

Домашнее задание составлено из задач №11, 12 стр. 289-290, №10 стр. 301 .

Заключительное слово учителя (1 мин).

Сегодня вы услышали со стороны математическую речь друг друга и оценили свои возможности. В дальнейшем, будем применять такие обсуждения для большего понимания предмета. Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория с практикой. Вам всем спасибо.

Литература:

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.