прямые l1 и l2 называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b - направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым и l1 и l2
Тогда векторы а, b, M1M2> не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M1M2>) =/= 0.Верно и обратное утверждение:если (а, b, M1M2>) =/= 0, то векторы а, b, M1M2> не компланарны, и, следовательно, прямые l1 и l2 не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие(а, b, M1M2>) =/= 0, где а и b - направляющие векторы прямых, а M1 и M2 - точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие(а, b, M1M2>) = 0 является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями
то а = (а1; а2; а3), b = (b1; b2;b3), М1 (x1; у1; z1), М2(х2; у2; z2) и условие (2) записывается следующим образом:
Расстояние между скрещивающимися прямыми
это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
26.Определение эллипса, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства.
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, для которых сумма расстояний
до двух фокусированных точек F1 и F2 этой
плоскости, называемых фокусами есть
величина постоянная.При этом не
исключается совпадение фокусов
эллипсиса.Если вокусы совпадают то
эллипсис представляет собой окружность.Для
любого эллипса можно найти декартову
систему координат такую, что эллипс
будет описываться уравнением (каноническое
уравнение эллипса):
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
Если
же в правой части стоит единица со знаком
минус, то получившееся уравнение:
описывает мнимый эллипс. Изобразить такой эллипс в действительной плоскости невозможно.Обозначим фокусы через F1 и F2,а расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов - через 2а
Для
вывода уравнения эллипса выберем систему
координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2
лежали на оси Ох, а начало координат
совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда
фокусы будут иметь следующие координаты:иПусть
М(х;у) - произвольная точка эллипса.
Тогда, согласно определению эллипса, т. е.
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
27.Определение гиперболы, каноническое уравнение. Вывод канонического уравнения. Свойства
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которой абсолютная величина разности расстояния до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,
28.Определение
параболы, каноническое уравнение. Вывод
канонического уравнения. Свойства
.
Параболой
называется ГМТ плоскости, для которых
расстояние до некоторой фиксированной
точки F этой плоскости равно расстоянию
до некоторой фиксированной прямой,
также расположенной в рассматриваемой
плоскости. F – фокус параболы; фиксированная
прямая – директриса параболы. r=d,
r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2 ; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4;y 2 =2px;
Свойства : 1.Парабола имеет ось симметрии(ось параболы); 2.Вся
парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Oxy при p>0, и в левой
если p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.
| " |
АГ.40. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах 
ФМП.3. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ
функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки
n-мерного пространства переменных х 1 , . . ., х п. Приращение
функции f в точке x (0) , где
наз. полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx 1 , . . ., Dx n аргументов х 1 , . . ., х п, подчиненных только условию, что точка x (0) +Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dx k f функции f в точке х (0) по переменной х k , т. е. такие приращения Df, для к-рых Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., п, k - фиксировано (k=1, 2, . . ., п).
ФМП.4. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по
О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:
Другие обозначения: Аналогично и для перемен-
ной у. 
Заметив, что определяется при неизменном у, а - при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z = (х, у) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вычисления частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.
ФМП.5. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции
Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:
2) для произвольной последовательности (x n ) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x 0 , соответствующая последовательность (f (x n )) значений функции сходится при n → ∞ к f (x 0);
3) или f (x ) - f (x 0) → 0 при x - x 0 → 0;
4) такое, что или, что то же самое,
f : ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f (x 0) - ε , f (x 0) + ε [.
Из определения непрерывности функции f в точке x 0 следует, что
Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a , b [, то функция f называется непрерывной на этом интервале .
ФМП.6. В математическом анализе, частная производная - одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:
График функции z = x ² + xy + y ². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz .
Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где d x f - частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).
Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате x k равна производной по направлению , где единица стоит на k -ом месте.
ЛА 76) Сист. ур-ний наз-ся крамеровской, если число уравнений равно числу неизвестных.
ЛА 77-78) Сист. наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
ЛА 79-80) Совместная сист. наз-ся определенной, если у нее только одно решение, и неопределенной в противном случае.
ЛА 81) …определитель крамеровской системы был отличен от нуля
ЛА 169) Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы = .
ЛА 170) Если определитель крамеровской системы отличен от нуля, то система определена, и ее решение может быть найдено по формулам 
ЛА 171) 1. Найдем решение крамеровской системы уравнений матричным способом; 2.. Запишем систему в матричном виде ; 3.Вычислим определитель системы, используя его свойства: 4. Затем записывает обратную матрицу А-1 ; 5. Поэтому
ЛА 172) Однородная система линейных уравнений AX = 0. Однородная система всегда совместна, поскольку имеет, по крайней мере, одно решение
ЛА 173) Если хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам , , , где t - произвольное число. Каждое отдельное решение получается при каком-либо определенном значении t.
ЛА 174) Совокупность решений однород. системы наз-ся фундаментальной системой решений, если: 1) линейно независимы; 2) любое решение системы является линейной комбинацией решений .
АГ118 . Общее уравнение плоскости имеет вид…
Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости .
АГ119 .Если плоскость a описывается уравнением Ax+D=0,то...
ПР 10 .Что такое бесконечно малая величина и каковы ее основные свойства?
ПР 11 . Какая величина называется бесконечно большой? Какова ее связь
с бесконечно малой?
ПР12.К акое предельное соотношение называется первым замечательны пределом? Под первым замечательным пределом понимается предельное соотношение
ПР 13 Какое предельное соотношение называется вторым замечательным пределом?
ПР 14 Какие пары эквивалентных функций Вы знаете?
ЧР64 Какой ряд называется гармоническим? При каком условии он сходиться?
Ряд вида называется гармоническим.
ЧР 65 .Чему равна сумма бесконечной убывающей прогрессии?
ЧР66. Какое утверждение понимается под первой теоремой сравнения?
Пусть даны два положительных ряда
Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .
ЧР67 . Какое утверждение понимается под второй теоремой сравнения?
Предположим, что . Если существует предел
то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
ЧР 45 Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся.
ЧР 29 Гармонический ряд это ряд вида…. Он сходится, когда
Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .
АГ 6. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.
Любая пара неколлинеарных векторов, лежащих в данной плоскости, образует базис на этой плоскости.
АГ 7. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.
Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.
АГ 8, Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Для того чтобы найти координаты вектора с заданными началом и концом, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала: если , , то .
АГ 9.а) Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ).
АГ 10. Нет, т.к. радианная мера угла между двумя векторами всегда заключена между и
АГ 11. Скаляр- это любое действительное число.Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.
АГ 12. мы можем вычислить расстояние между точками, базисные векторы, угол между векторами.
АГ 13. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:
Его длина равна 
Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются. Признак скрещивающихся прямых Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости, а прямая b пересекает плоскость в точке B, не принадлежащей прямой a. Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежала бы и точка B. Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью должна быть плоскость. Но тогда прямая b лежала бы в плоскости, что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы? Решение: Для каждого ребра оснований имеется три ребра, с ним скрещивающихся. Для каждого бокового ребра имеется два ребра, с ним скрещивающихся. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 5
Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Решение: Каждое ребро оснований участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Каждое боковое ребро участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно Упражнение 6
Лекция: Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых
Пересекающиеся прямые
Если на плоскости имеются несколько прямых, то они либо рано или поздно пересекутся произвольно, либо под прямым углом, или же будут параллельными. Давайте же разберемся с каждым случаем.
Пересекающимися можно назвать те прямые, у которых будет хотя бы одна точка пересечения.
Вы спросите, почему хотя бы одна, не может же прямая пересечь другую прямую две или три раза. Вы правы! Но прямые могут полностью совпасть друг с другом. В таком случае общих точек будет бесконечное множество.
Параллельность
Параллельными можно назвать те прямые, которые никогда не пересекутся, даже на бесконечности.
Иными словами, параллельные – это те, у которых нет ни одной общей точки. Обратите внимание на то, что данное определение справедливо только в том случае, если прямые находятся в одной плоскости, если же они не имеют общих точек, находясь в разных плоскостях, то они считаются скрещивающимися.
Примеры параллельных прямых в жизни: два противоположных края экрана монитора, линии в тетрадях, а также многие другие части вещей, имеющих квадратную, прямоугольную и другие формы.
Когда хотят показать на письме, что одна прямая параллельная второй, то используют следующее обозначение a||b. Данная запись говорит, что прямая а параллельна прямой b.
При изучении данной темы важно понять еще одно утверждение: через некоторую точку на плоскости, которая не принадлежит данной прямой, можно провести единственную параллельную прямую. Но обратите внимание, снова поправка – на плоскости. Если рассматривать трехмерное пространство, то можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут пересекаться, но будут скрещивающимися.
Утверждение, которое было описано выше, называется аксиомой о параллельности прямых .
Перпендикулярность
Прямые можно назвать только в том случае перпендикулярными , если они пересекаются под углом, равным 90 градусов.
В пространстве через некоторую точку на прямой можно провести бесконечное множество перпендикулярных прямых. Однако, если речь идет о плоскости, то через одну точку на прямой можно провести единственную перпендикулярную прямую.
Скрещенные прямые. Секущая
Если некоторые прямые пересекаются в некоторой точке под произвольным углом, их можно назвать скрещивающимися .
У любых скрещивающихся прямых есть вертикальные углы и смежные.
Если у углов, которые образованы двумя скрещивающимися прямыми, одна сторона общая, то они называются смежными:
Смежные углы в сумме дают 180 градусов.
Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)
Две прямые пространства могут:
1) скрещиваться;
2) пересекаться в точке ;
3) быть параллельными ;
4) совпадать.
Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .
Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?
Рассмотрим две прямые пространства:
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .
Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:
На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.
Как разобраться с этими прямыми?
Так как известны точки , то легко найти вектор .
Если прямые скрещиваются
, то векторы не компланарны
(см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: 
.
В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны
, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: 
.
Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что 
, следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.
Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.
Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:
Пример 11
Выяснить взаимное расположение двух прямых
Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:
1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:
2) Найдём вектор:
Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.
Составим систему из соответствующих координат данных векторов:
Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.
Вывод: прямые параллельны либо совпадают.
5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :
Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.
Ответ :
Интересный пример для самостоятельного решения:
Пример 12
Выяснить взаимное расположение прямых
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.
И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)
Задачи с прямой в пространстве
В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.
Скрещивающиеся прямые
Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:
Пример 13
Даны прямые . Требуется:
а) доказать, что прямые скрещиваются;
б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;
в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;
г) найти расстояние между прямыми.
Решение : Дорогу осилит идущий:
а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:
Найдём вектор:
Вычислим смешанное произведение векторов
:
Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.
Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.
б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:
Для разнообразия я разместил прямую ЗА
прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.
Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.
По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:
Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :
Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде 
, но необходимости в этом нет никакой.
Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».
Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?
в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.
Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.
– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:
Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.
Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.
Решение оформим по пунктам:
1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО
. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:
Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.
2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:
Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении
её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:
Или: 
3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Есть две точки: 
.
Находим вектор:
4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:
Или покоординатно:
Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:
Таким образом: 
, а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.
5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения 
в наши точки:
Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .
После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.
:
Получены верные равенства.
Подставим координаты точки в уравнения 
:
Получены верные равенства.
6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?
г) Срубаем четвёртую голову дракона.
Способ первый
. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: 
.
Крайние точки общего перпендикуляра 
найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:
Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.
В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).
Смешанное произведение векторов
уже найдено в пункте «а»: 
.
Векторное произведение векторов
найдено в пункте «бэ»: 
, вычислим его длину:
Таким образом:
Гордо выложим трофеи в один ряд:
Ответ
:
а) 
, значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) 
;
в) 
;
г) 
Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:
Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:
Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!
Как найти точку пересечения пространственных прямых?
Пример 14
Найти точку пересечения прямых
Решение
: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:
Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве
). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.
Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра
:
Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:
Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:
Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса
, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:
Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:
Подставим найденное значение параметра в уравнения:
Ответ :
Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения: 
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.
Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».
Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.
Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?
(прямые пересекаются)
Пример 15
а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой 
(прямые пересекаются).
б) Найти расстояние от точки до прямой .
Примечание
: оговорка «прямые пересекаются» – существенна
. Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум
заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).
а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:
Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.
1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:
Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:
Или одной строкой:
2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение
равно нулю:
Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:
3) Значение параметра известно, найдём точку:
И направляющий вектор:
.
4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:
Ответ
: 
Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.
Проверка состоит из двух этапов:
1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;
2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.
О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.
Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.
Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?
б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .
Способ первый
. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки 
, то:
Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.
Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная
точка, принадлежащая данной прямой.
1) Из уравнений прямой 
достаём направляющий вектор и самую доступную точку .
2) Точка известна из условия, заточим вектор:
3) Найдём векторное произведение
и вычислим его длину:
4) Рассчитаем длину направляющего вектора:
5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:
